f(x)g'(x) - f'(x)g(x) = 0の場合の関係式

質問

f(x)g'(x) - f'(x)g(x) = 0の場合の関係式

f(x) = c g(x)となる(cは係数)そうですが、どうやって解くのでしょうか?

部分積分法の
(fg)' = f'g + fg'を使うのかと思い、トライしてみたのですが、
循環してしまうだけで、上の関係式にたどり着けませんでした。

よろしくお願いいたします。

回答No.4

Knotopolog · ベストアンサー

これは，１階非線形常微分方程式です．

f(x)g'(x) － f'(x)g(x) ＝ 0

変形して解くと，

f(x)g'(x) ＝ f'(x)g(x)
g'(x)/g(x) ＝ f'(x)/f(x)

∫g'(x)/g(x) dx＝ ∫f'(x)/f(x) dx ＋ C,　（積分定数）
ln(g(x))＝ ln(f(x)) ＋ C
ln(g(x))－ln(f(x)) ＝ C
ln(g(x)/f(x)) ＝ C
g(x)/f(x) ＝ exp(C)
g(x) ＝ exp(C)・f(x)

g(x)/exp(C) ＝ f(x)

となる．c：＝ 1/exp(C)，c ≠ 0　と置けば，

f(x) ＝ c g(x)

の関係を得る．（終）

お礼

すごく明確に理解できました。

ありがとうございました。

回答No.3

htms42

＞(fg)' = f'g + fg'を使うのかと思い、トライしてみたのですが、

これをやったのであればなぜ
(ｆ／ｇ)'＝(ｆ'ｇ－ｆｇ')/ｇ^2
を調べてみようとしなかったのでしょうか。
＃１のご回答です。

もしｌｏｇの微分をご存知でしたら
ｆ'／ｆ＝ｇ'／ｇ
(ｌｏｇ(ｆ))'＝(ｌｏｇ(ｇ))'
(ｌｏｇ(ｆ/ｇ))'＝０
ｌｏｇ(ｆ/ｇ)＝Ｃ
ｆ/ｇ＝ｃ

これは変数分離型の微分方程式を解くときによく良く出てくる形です。

お礼

ありがとうございます。

(ｌｏｇ(ｆ))'＝(ｌｏｇ(ｇ))'
(ｌｏｇ(ｆ/ｇ))'＝０

この式変形がなぜ可能なのか、いまいち理解できませんでした。

両辺の微分を一回はずした上で、logの計算をして、また微分をしているのでしょうか？

よろしければ、補足お願いいたします。

回答No.2

noname#117170

a→＝(f,f')
b→＝(g,g') として(ただし、f,gは恒等的に0でない。また変数xは省略)
　　　　　　　　　　　 f(x)g'(x) - f'(x)g(x) = 0　
　　　　　　　　　　　⇔b→×a→＝0 (b→とa→との外積が0)
⇔a→＝cb→
よってf=cg かつf'=cg'　が成立してf=cg だとf'=cg'も言えるので
答えはf=cg またf,gは恒等的に0としてもf=cgはいえる。

お礼

積分の方法での回答を期待していたのですが、ベクトルでの考えでの回答も興味深いですね。

ありがとうございました。

回答No.1

waseda2003

{f’(x)g(x)-f(x)g’(x)}/{g(x)}^2 の形に見覚えはありませんか？

お礼

なるほど！です。解けました。ありがとうございました。