関数の一様連続性について

質問

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3186700.html?ans_count_asc=0

上記を見てf(x)=1/(1+x^{2})のR上一様連続性について考えたのですが
上記の回答は間違っていると思います。x_{1}<x_{2}のときに両辺の平方が不等号を保存するとは言えないので

＝｜ｘ１－ｘ２｜＊｜（ｘ１＋ｘ２）/（１＋ｘ１＾２）（１＋ｘ２＾２）｜
＜｜ｘ１－ｘ２｜＊｜（ｘ１＋ｘ２）/（１＋ｘ１＾２）＾２｜

は言えないかと思います。
これは、|ｘ1|≦|x2|なんておいておけば上記の変形も可能だとは思いますが、これって一般性を保ててますか？

あと｜２（ｘ+1）/（1+ｘ＾２）＾２｜は、ｘ→±∞で、ｇ→+０なので、Ｒ上最大値を持ち、その最大値をＭとする。というのが納得できません。
ｘ→±∞で、ｇ→+０なので、Ｒ上最大値を持ちというのはあきらかなのですか？

回答No.6

funoe · ベストアンサー

昨日の回答の前半は、正しくない主張なので取り消してください。

あなたのおっしゃるとおり、
|ｘ1|≦|ｘ２|　とすればよさそうですね。
お残りの主張にも絶対値の記号をつけて、
｜ｘ２｜＝｜ｘ１｜＋ｔとするとｔ＜１
てな感じで。

でも、「間違い」っていうよりは「小さい減点」くらいじゃないですか。わたしゃ、自分に甘いもんで。

お礼

いえいえ、ありがとうございます！

ケチをつけたかったのではなくて今、一様連続とかそういう数理基礎的な部分を復習しておりまして、ネット上で例題を探していて。。。
専門はちょっと違った部分になるので本当にあってるかどうかがわからなくて質問させていただきました。
間違ってるというのは言い過ぎですね。気分を害されたのであれば大変申し訳ありませんでした。

スラック変数が好きなんですね。
その部分については|x1-x2|から|x1|-|x2|<δなので|x2|を|x1|+δでおさえるというのが私は好きです（笑）

回答No.5

funoe

そうですね。
そもそも、いまみると、
＝｜ｘ１－ｘ２｜＊｜（ｘ１＋ｘ２）/（１＋ｘ１＾２）（１＋ｘ２＾２）｜
＜｜ｘ１－ｘ２｜＊｜（ｘ１＋ｘ２）｜
がいえてますね。x1,x2の大小の比較など無意味でしたね。
これは、減点対象ですね。

いや、言い訳なんですけど、このときバタバタしてたんです。
本質的には2回目の回答で説明が済んでいた気持ちになってたしね。

>ｘ→±∞で、ｇ→+０なので、Ｒ上最大値を持ち、その最大値をＭとする。というのが納得できません。

より厳密には「Ｒ上で定義された実数値連続関数ｇにおいて」ってのを、補ってください。
わかりきった事なので省略しています。

ここの部分は、「一様連続の証明を試みる学生と採点者」の間では暗黙の了解と見做してよいので減点なしでどうでしょう。

回答No.4

koko_u_u

>もう少し私が答えに近づける形で誘導していただけないでしょうか？

無理です。そんな、人の楽しみを奪うことなどできません。

回答No.3

koko_u_u

>式変形の際にx1とx2を入れ替えても証明はうまく終了するので、 >|x1|≦|x2| の時だけ考えればいいということですよね。

違います。

>ただ反例の方に関してはどういった考察をすればいいのでしょうか？？

あなたの考えた反例と、元の問題にある関数の違いは何か考察しましょう。

補足

どう違いますか？？

＞あなたの考えた反例と、元の問題にある関数の違いは何か考察しましょう。
連続か、不連続かの違いがあると思いますが、連続かどうかを調べるのに、（明らかに）連続な関数がx->±∞で有界だから最大値を持つみたいなことを言うと問題があるように思います。

えーと、とても言いにくいのですが、誘導していただけるのはありがたいのですが、もう少し私が答えに近づける形で誘導していただけないでしょうか？

回答No.2

koko_u_u

>ということは、つまり|ｘ1|≦|x2|としてもいいってことですよね。

では「 |x1|≦|x2| と置いても、一般性を失わない」ことを証明して補足にどうぞ。

>y=1/|x|なんておけばx→±∞で、y→+0ですがx=0でなんか+∞になって
>しまっていると思います。

この反例が、そもそもの一様連続性に対する議論を破綻させるものかを考察して補足にどうぞ。

補足

単純に
|x1|≦|x2| の場合と |x2|≦|x1|の場合を考えれば全部考えられてて(かぶってる部分がありますが)
式変形の際にx1とx2を入れ替えても証明はうまく終了するので、 |x1|≦|x2| の時だけ考えればいいということですよね。

ただ反例の方に関してはどういった考察をすればいいのでしょうか？？
ｘ→±∞で、ｇ→+０だが、Ｒ上最大値をもたない場合があるので、
＜｜ｘ１－ｘ２｜＊｜（２ｘ１＋１）/（１＋ｘ１＾２）＾２｜
＜δ＊Ｍ
が言えなくて証明できずになってしまうと思うのですが・・・。

回答No.1

koko_u_u

>|ｘ1|≦|x2|なんておいておけば上記の変形も可能だとは思いますが、
>これって一般性を保ててますか？

「一般性を保てている」とはどういう状態かを補足にどうぞ。

>その最大値をＭとする。というのが納得できません。
>ｘ→±∞で、ｇ→+０なので、Ｒ上最大値を持ちというのはあきらかなのですか？

「明らかでない」と思ったら、証明するのです。はい、補足にどうぞ。
「反例を考える」でもいいよ。

補足

一般性を保つとは何か・・・ということですよね。そう言われると難しいですね。
縛りを加えてもその縛りに入ってないものと対称性があって片方だけ調べればいいみたいなことでしょうか？
ということは、つまり|ｘ1|≦|x2|としてもいいってことですよね。

下に関しては反例ですがy=1/|x|なんておけばx→±∞で、y→+0ですがx=0でなんか+∞になってしまっていると思います。