確率過程 離散→連続

質問

今読んでいる本にある、ランダムウォークの離散的な確率過程から連続的な確率過程への拡張の際にわからないことがでてきたのでご教授願えますでしょうか？（今、他の文献の持ち合わせがないのです）

x：t[i]秒後にいる位置
t[i]＝iΔt：Δtを1ステップとしてiステップ後の時間(i＝1, 2,・・・)
p：右へ行く確率
q＝1－p：左へ行く確率

まず離散的な確率過程を考えて
i番目の変位をΔX[i]としてt[n]秒後の位置はx = X[n] = Σ[i=1,n]ΔX[i]
<ΔX[i]>＝(p－q)Δx，<ΔX[i]>＝(Δx)^2
よりΔX[i]の期待値と分散は(p－q)Δx，4pq(Δx)^2

Δt→0, Δx→0の極限を取ったときのt秒後の位置をX(t)として、期待値と分散は
<X(t)>＝t(p－q)(Δx/Δt), σ^2＝4pqt(Δx)^2/(Δt)
となる。

ここでイキナリ、(Δx)^2/(Δt)は有限でp－qはΔx程度の大きさがないといけないとわかるそうなので、係数Dとcを以下のようにおけると書いてあります。
(Δx)^2/(Δt)＝2D，p＝(1/2)＋(c/2D)Δx，q＝(1/2)－(c/2D)Δx
<X(t)>＝2ct，σ^2＝2Dt
このDを拡散係数, cを漂速と言う。らしいですが、もって行きかたが不自然で納得いきません。

拡散係数はFickの法則から定義(?)するのではないでしょうか？
この行間を埋める、もしくは他の方向からのアプローチできますでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

＞他の方向からのアプローチできますでしょうか。
他の方法というか、本来であれば、いきなり
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%83%8A%E3%83%BC%E9%81%8E%E7%A8%8B
の「特徴づけ」てところに書いてある性質を満たす確率過程について考えることにする。（別に理由はないけど、なんとなく考えたくなった）
でいいはずです。

それでは、あんまりだから、ということでランダムウォークで一応それらしい導入をしてあるわけです。
で、wikipediaによると、ランダムウォークとWiener過程を結びつける
Donsker's theorem
http://en.wikipedia.org/wiki/Donsker%27s_theorem
ていう定理があるそうですが、私はよくしりません。

なんにしろ、とにかく、
(Δx)^2 ≒ (Δt)
くらいな場合を考えることにしたんです。
まあ、すくなくとも、この条件が成り立っていない限り、確率密度の時間発展（Fokker-Plank方程式）が存在しないってことで、そういう現象がもしあったとしても観察できないんで実際上はないと同じですが。

有名な伊藤の公式というやつで、
dB*dB = dt
というのがありますが、この項も出所は同じですね。
とにかく、時間を1/2にしたら、サイズは1/√2になるんです。