範囲の求めかた

質問

座標空間内の原点を中心とする半径1の球面上の点(x,y,z)に対し、x＋2y＋3zのとりうる値の範囲を求める問題で

(|→a|＾2)*(|→b|＾2)≧(→a・→b)＾2の導く方法を教えてくれませんか？

２つのベクトル、→a,→bに対して内積
(→a・→b)＝(|→a|)*(|→b|)cosθで
-1≦cosθ≦1
から
★-(|→a|)*(|→b|)≦(→a・→b)≦(→a・→b)＾2になるのが分かりません。
これから、(|→a|＾2)*(|→b|＾2)≧(→a・→b)＾2になることも分かりません。

★(x＾2)＋(y＾2)＋(z＾2)=1になることも分からないので教えてください

回答No.1

metis · ベストアンサー

面倒なので、a,bのベクトル記号は省略します。

★一つ目。
-1≦cosθ≦1
これの全てに、|a|*|b|を掛けてみましょう。
この数は全て0以上のため、不等号の向きは変化しません。
-|a|*|b|≦|a|*|b|*cosθ≦|a|*|b|・・・☆

さて、この式の真ん中は、内積の定義式になっています。
問題の右ですが…何かしら、これ以外に限定があるはずです。
a,bの定義の仕方かもしれませんし、問題文（？）のミスかもしれませんが。
例えば、|a|=1,|b|=1,cosθ=1/2（θ=(1/3)π）の時に実際に計算してみると…
a・b=1*1*1/2=1/2、(a・b)^2=1/4
よって、a・b≧(a・b)^2となってしまいます。

おそらく、この一番右は、☆式の右の項になると思います。
（この☆式のことを、「シュヴァルツの不等式」といいます。
　大学の分野になるかもしれませんが。）
で、この式は、一気にこんな感じで式変形が出来ます。
|(a・b)|≦|a|*|b|
（絶対値の定義みたいなものですね）
両辺とも0以上なので、両辺を自乗します。
|(a・b)|^2≦|a|^2*|b|^2
絶対値の自乗における絶対値は外せますので、これで求めたい式になりますね。

★二つ目。
(x^2)+(y^2)+(z^2)=1
これが、単純に原点を中心とする半径１の球面の公式になるからです。
単位円の公式が(x^2)+(y^2)=1なのと一緒です。
具体的な算出方法は以下を参照。
三平方の定理をイメージすると分かりやすいかもしれません。
http://kenpei-web.hp.infoseek.co.jp/math/coordinates/index.html

お礼

サイトまで教えてもらってとても分かりやすかったです。
どうもありがとうございます。
大変参考になりました。

回答No.2

take_5

毎日質問するのは結構ですけれど、前の質問に回答が寄せられていますよ。
それに返事もしないで、こちらで又質問するのはマナーに欠けると思いませんか。

補足

ごめんなさい。
これからは気をつけます。
ご迷惑をおかけしてすいません。