半径１の２個の球が外接しているまわりに、半径rの球をくっつけていったら

質問

半径１の球が２個外接している。

その２個の球の両方に外接する半径rの球がn個あり、数珠状になっている。つまり、それぞれの半径rの球は互いに外接し、また、中心は、ある円上になっている。

このとき、rはnを使ってどのように書けるのでしょうか?

別の言葉で言うと、半径１の２個の球が外接しているまわりに、半径rの球をくっつけていったら、ちょうどn個くっつけることができたとき、rとnの関係はどうなるのでしょうか？

回答No.11

stomachman · ベストアンサー

[1] ANo.8では
「すると、半径rの球はどれも、その中心が、原点を中心とする半径tの円上に乗る。」
と書きましたが、ちょっと言葉が不足で、
「すると、半径rの球はどれも、その中心が、原点を中心としxy平面上にある半径tの円上に乗る」
とすべきでした。

[2] ではANo.8を具体的にやってみましょう。
　step1の作図から、原点Oと、半径１の球の中心Aと、半径rの球の中心Cを結ぶ三角形は∠AOCが直角で、辺の長さは辺OAが1、辺OCがt、辺ACが(1+r)ですから、ピタゴラスの定理で
(1+r)^2 = 1 +　t^2 （^2は二乗という意味です。）
つまり
t^2 = (1+r)^2 - 1
です。

step２の作図では、正n角形の一辺の中点をMとし、Mに隣接する頂点をAとして、これらと原点Oから成る三角形OMAを考えます。すると、∠Mが直角で、辺MAがr、辺OAがt、そして∠MOAは(360°/(2n))ですから、サイン関数の定義を使って
r = t sin(180°/n)
と表せます。両辺を2乗しておきましょう。
r^2 = (t^2) (sin(180°/n))^2
です。

さて、(t^2)を消去するためにstep１の式をstep2の式に代入すると、
(r^2) =((1+r)^2 -1) (sin(180°/n))^2
整理し、rについて解くと、（ 三角関数の公式 (cosθ)^2 = 1-(sinθ)^2 と tanθ = (sinθ)/(cosθ）を使って）
r = 2 (tan(180°/n))^2
というすっきりした関係式が得られ、これで（n＞2であれば）どんなnについてもrが計算できます。例えば、ANo.9にある通り、
n=3の場合、tan(180°/3)=√３だから、r=6
n=4の場合、tan(180°/4)=1だから、r=2
n=6の場合、tan(180°/6)=1/√3だから、r=2/3。

[3] 逆に、r=1の時にnが幾らになるかを求める場合には、
1 = 2 (tan(180°/n))^2
これをnについて解けば
n=180°/Atan(1/√2)
で、デンタクを叩いてみると
n=5.104…
でした。

ANo.4の「お礼」では
> 平面上で、一つの半径１の円のまわりに、何個の半径１の円をくっつけることができるか、という問題と同値と思います。
> 答えは６個と思います。
…
> さきほどの６個よりも多くくっつけることができると思いますが、８個ではないような気もします。

と仰っていますが、ご質問の状況では数珠の円の半径tが小さくなるんですから、円上に並ぶ球の個数は6個より少なくなります。

> むしろ、整数個にはならないような気がします。

これはその通りでしたね。

回答No.10

chiezo2005

#1です。

そういう意味でしたか。。。
だったら，えらく簡単です。

難しく考えて損しました。

回答No.9

htms42

＃２、＃５です。

2つの半径1の球の中心軸の方向と半径ｒの球が並んで作る円の面とが直交しているのですね。これで＃２で書いた（１）（２）が一致しました。これまで皆すべての球が平面にある場合を考えていました。

＃８に書かれているようにすれば解くことができます。

ｒ＝６でｎ＝３、ｒ＝２でｎ＝４、ｒ＝２／３でｎ＝６です。面白い結果ですね。

回答No.8

stomachman

半径１の２個の球の中心同士を結ぶ直線をz軸とし、両者の接点を原点とする直交座標系(x,y,z)を考えます。すると、半径rの球はどれも、その中心が、原点を中心とする半径tの円上に乗る。そういう話ですね。

step1: 半径rの球をひとつ、その中心がx軸上に来るように、かつ、二つの半径1の球に外接するように置いたとします。このとき、半径rの球の中心の座標は(t,0,0)です。この３個の球から成る立体をxz平面で切った断面の図形は「二つの円（半径１）が外接したくぼみに半径rの円が外接している」という格好になり、ピタゴラスの定理を使ってtを計算できます。すなわち、rとtの関係式が得られる。

step2: 一方、半径rの球n個が丸く並んだ状態をxy平面で切り取った断面を考えます。すると「半径rの円n個があって、それぞれが他の2つの円と外接していて、それぞれの円の中心を結ぶと正n角形になるように並んでいる」という図形になります。ですから、「中心と頂点の距離がtである正n角形の各辺の長さを2rとするとき、rは幾らか」という問題を解けば、tとnとrの関係式が得られます。

こうして得られた二つの関係式からtを消去すれば、お求めの答が出ます。

回答No.7

chiezo2005

＃６です。

いえ，ｎを決めても数珠の最初の一つ目をおく位置でｒが異なります。

n=8の場合ので考えても明らかです。
このときひとつの球をA,B両方に接しさせるところからはじめると，
r=1はひとつの解で稠密充填構造（三角格子）になります。
ところが，ひとつの球をA,B両方に接触させない場所において８個の球で周りを囲むことは可能です。

そのときはrは１より大きくなります。

これも解のひとつだと思いますので，一意的にｒは決まらないと言うことになります。

回答No.6

chiezo2005

ひょっとして，ｎが決まればｒが決まるのかと思って考えてみたのですが，やっぱり最初の1球を置く位置で変りますね。
つまりある配置で問題のように2つの球の周りをぴったり囲めたとしても，その数珠はずらすことはできない。
ずらすとどこかで隙間ができてしまうか，最初の球に接しなくなります。

お礼

ｎが決まればｒが決まると思います。

２個の球のくびれに、ｎ個の数珠を巻きつけていくとき、ｒを小さくすれば（不完全ながら）まきつけることが出来ます。
徐々にｒを大きくしていった限界のある値で、完全な状態で巻きつけることができると思います。

回答No.5

htms42

＃２です。
＃１、＃３では私の書いた（２）の場合を考えておられます。
その場合、ｒ＝１であればｎ＝８です。平面三角格子になっています。
ビー玉とかパチンコだまをピッタリくっつけてできる配置です。
質問者様は（１）、（２）のどちらを考えているのでしょうか。

お礼

ありがとうございます。
別の方が言っていただいた、数珠巻きつけ問題というのは分かりやすい言葉です。

一つの（半径１の）球を人間に見立てて、その横っ腹に半径１の数珠（ｎ個ある）を巻きつけていくことを考えます。
ｎ個の数珠は隣同士外接しています。
これはたんに平面上で、一つの半径１の円のまわりに、何個の半径１の円をくっつけることができるか、という問題と同値と思います。
答えは６個と思います。

次に、２つの半径１の球が外接している状態を人間に見立てて、そのくびれに半径１の数珠（ｎ個ある）を巻きつけていくことを考えます。
ｎ個の数珠は隣同士外接しています。
さきほどの６個よりも多くくっつけることができると思いますが、８個ではないような気もします。
むしろ、整数個にはならないような気がします。

たとえば、２つの半径１の球が外接している状態を人間に見立てて、そのくびれに半径ｒの数珠６個を巻きつけていくとき、ｒの値は何になるのでしょうか？

回答No.4

chiezo2005

#1です。
n=8,r=1の場合を補足します。
このときはすべての球が同じ大きさになりますので，
最初に置かれている二つの球A,Bの周りを6個（Aの周りにはBも含めて，Bの周りはAも含めて）の球で囲んだ，稠密充填構造になります。
球同士の中心の角度は60度です。
絵に描けばすぐにわかりますね。

私は，最初の一個の置き場所をA,Bの球の隙間につけておくと言う風に勝手に初期条件を決めてしまいましたが，任意のところに最初の一個を置いても，数珠巻きつけ問題としては成立します。

解いていないですが，かなりややこしい計算式になると思われます。

お礼

ありがとうございます。
数珠巻きつけ問題というのは分かりやすい言葉です。

一つの（半径１の）球を人間に見立てて、その横っ腹に半径１の数珠（ｎ個ある）を巻きつけていくことを考えます。
ｎ個の数珠は隣同士外接しています。
これはたんに平面上で、一つの半径１の円のまわりに、何個の半径１の円をくっつけることができるか、という問題と同値と思います。
答えは６個と思います。

次に、２つの半径１の球が外接している状態を人間に見立てて、そのくびれに半径１の数珠（ｎ個ある）を巻きつけていくことを考えます。
ｎ個の数珠は隣同士外接しています。
さきほどの６個よりも多くくっつけることができると思いますが、８個ではないような気もします。
むしろ、整数個にはならないような気がします。

たとえば、２つの半径１の球が外接している状態を人間に見立てて、そのくびれに半径ｒの数珠６個を巻きつけていくとき、ｒの値は何になるのでしょうか？

回答No.3

chiezo2005

＃１です。
まず括弧をひとつ間違えてました。
n=2(π-arccos(1/(1+r)))/(arcsin(r/(1+r))）
です。さらにこの式はnが偶数のときのみなりたちます。
奇数のときは少し違ってしまいます。

偶数のときの考え方は
まず２つの球のちょうど谷間にひとつrの球を置くところから始まります。
偶数のときは反対側の隙間にちょうど同じように球がくるのですこの式でよいのですが，奇数のときは2個の球の位置がややこしい。

ちなみにこの式でn=8以降のnとそのときの半径rは
10：0.73397
12：0.58024
14：0.48015
16：0.40976
になります。
なんかあんまりぴったりした数字にならないですね。

回答No.2

htms42

＞その２個の球の両方に外接する半径rの球がn個あり、数珠状になっている。つまり、それぞれの半径rの球は互いに外接し、また、中心は、ある円上になっている。（１）

＞半径１の２個の球が外接しているまわりに、半径rの球をくっつけていった（２）

この２つが合いません。
半径１の球（Ａとします）が２つくっついている周りに半径ｒの球（Ｂとします）を「Ａ」にくっつけていったということでしょうか。とするとＢの中心は円状にはなりませんね。
Ｂの中心が円状にあるということであればＢとＢはいつもくっついていますがＢとＡはいつもくっついているとは限りませんね。
（１）だとします。

円状になる接し方が２つあります。ＢＡＡＢの中心が一直線上にある場合とＢＢの接点がＡＡの中心線上にある場合です。後者の方が半径が小さいです。どちらでしょう。どちらにしてもＢの中心が乗っている円の中心はＡＡの接点ですね。（この条件をはずすと変わってきます。）
Ｂのくっつき方はＡＡに対して対称でなければいけません。上の中心条件であればＢの数は偶数であるということになります。中心が動いていいのであれば奇数もありです。このときは上の２つの接し方の混ざりになります。
＃１でｒ＝１の場合Ｂが８個であるとかかれています。４５°でＢがひとつということになりますのでおかしいと思います。４５°ではＢとＢとがくっつきません。ｒを１より少し大きくするといけるでしょう。ｒ＝１．２４とでました。９つとすると４０°になります。近いですがちょっと円からはみ出します。ｒを１よりわずかに小さくする必要があります。

補足

２個の球が外接しているまわりにくっつけていくというのは、
くぼみのまわりにくっつけていくということです。

２個の球が外接している物体に、「じゅず」をはめたら、数珠の一つの玉が２個の球の両方に接するし、数珠の隣同士の玉も接している状態です。

回答No.1

chiezo2005

n=2(π-arccos(1/(1+r)))/(arcsin(r/(1+r))
の整数のもの。
ちなみにr=1のときは
n=8になります。
こんなんで答えになってるのかな？