半径ｒの円の中心を半径２×ｒ×ｎの円周上に重なり合わないように配置できる数

質問

半径ｒの円の中心を半径２×ｒ×ｎの円周上に重なり合わないように複数配置していきます。

ｎが１の場合、半径ｒの円は６個、重なり合わないように配置できます。
このとき、半径ｒの円同士に隙間はありません。

ｎが２の場合、半径ｒの円は１８個、重なり合わないように配置できます。このとき、半径ｒの円同士に少し隙間ができます。

ｎが３の場合、半径ｒの円は２４個、重なり合わないように配置できます。このとき、ｎが２の場合と同様に半径ｒの円同士に隙間ができ、隙間の合計値はｎが２の場合より大きいと思います。

半径ｒの円の中心を半径２×ｒ×ｎの円周上に重なり合わないように配置できる数はｎが２以降は６×（ｎ＋１）かのように思えますが、ｎが大きくなるにつれ、半径ｒの円同士の間幅の合計値も大きくなり、どこかで、６×（ｎ＋１）＋１になるような気がします。
もし、そうならば、そのときのｎはいくつになりますか？

また、半径ｒの円の中心を半径２×ｒ×ｎの円周上に重なり合わないように配置できる数を式で表すとどうなりますか？

回答No.2

info22 · ベストアンサー

>ｎが２の場合、半径ｒの円は１８個、重なり合わないように配置できます。
コンパスを使って図を描いて見ましたか？12個になりますよ。

>ｎが３の場合、半径ｒの円は２４個、
この場合も図を描くと18個になりますね。

とりあえずn=1～30までに対する重なりあわない円の個数{an}を求めてみました。
a1=6,a2=12,a3=18,a4=25,a5=31,
a6=37,a7=43,a8=50,a9=56,a10=62,
a11=69,a12=75,a13=81,a14=87,a15=94,
a16=100,a17=106,a18=113,a19=119,a20=125,
a21=131,a22=138,a23=144,a24=150,a25=157,
a26=163,a27=169,a28=175,a29=182,a30=188, ...
これは、等差数列や等比数列ではなくて

anは次式で与えられる数列になります。
an=[π/arcsin{1/(2n)}]　…（◆）
[]はガウス記号です。

質問者さんの書かれている簡単な式では一般式を導出できないですね。
場合分けが無数にできてしまいますから。

余り意味は無いけど参考まで。
n=2でa2=6n=12
n=3でa3=6n=18になりますね。
＞６×（ｎ＋１）＋１になるときのｎはいくつになりますか？
n=4～7ではan=6n+1の式となる。
n=4でa4=6n+1=25
n=5でa5=6n+1=31
n=6でa6=6n+1=37
n=7でa7=6n+1=43

n=8～10まではan=6n+2の式となる。
n=11～14まではan=6n+3の式になる。
n=15～17まではan=6n+4の式になる。
...
これでは場合分けが無数にできてしまいますので
一般式は簡単には導出できませんね。
大きい円に対して小さい円の占める中心角を求め、それが全円の円周角2πの中に何個取れるか、という発想の転換をすれば上の（◆）の式が導出できます。

お礼

ご回答ありがとうございます。

＞コンパスを使って図を描いて見ましたか？12個になりますよ。
間違えました。家にコンパスがないので、一円玉を並べて数えてみると12個でした。(^^;

＞大きい円に対して小さい円の占める中心角を求め、それが全円の円周角2πの中に何個取れるか、という発想の転換をすれば上の（◆）の式が導出できます。

この考え方で式を導いて見ます。

＞an=[π/arcsin{1/(2n)}]　…（◆）
表計算ソフトのエクセルで試してみると
=FLOOR(PI()/ASIN(1/2/A1),1) 　・・A1にnを代入
で計算できました。

＃１さんのご回答では
[π／sin-1(1/2n)] ・・★
とあるので、
=FLOOR(PI()/SIN(1/2/A1),1)　　・・A1にnを代入
としてみると、7のときに差異が発生し、SINは44、ASINは43でした。
（1は共に6、次に差異が発生するのは113）

actionscriptというプログラミング言語で
ans1=MATH.floor(MATH.pi/MATH.asin(1/2/n));
ans2=MATH.floor(MATH.pi/MATH.sin(1/2/n));
とすると、

n=1のとき、ans1=5,ans2=6
n=7のとき、ans1=43,ans2=44
n=113のとき、ans1=709,ans2=710

でした。

回答No.3

info22

#2です。
A#2の補足について

> ＃１さんのご回答では
> [π／sin-1(1/2n)] ・・★
この式は私の
>> an=[π/arcsin{1/(2n)}]　…（◆）
の式と同一式です。
ただ、★は文字で書くとややっこしく、簡略化して書いて見えますので式が見る方に正しく伝わらない事があります。省略しないで正確に書くなら
[π／sin^(-1) {1/(2n)}]
と書かないといけませんね。

> とあるので、
> =FLOOR(PI()/SIN(1/2/A1),1)　…（▲）　　・・A1にnを代入
なので
「sin^(-1)(x)」 は「arcsin(x)」とも書きます。
丁度
「e^x」を「exp(x)」と書くのと同じです。
どちらの表現を使うかは、自由ですは、それを見る人に正しく伝わらない可能性があったり、多重括弧を少なくする意味で「arcsin(x)」や「exp(x)」等が使用されます。手書きの場合がsin-1(x)の「-1」は右上の肩に書きますので間違いが少ないと思います。

という事で
（▲）の式は間違いです。
>ans2=MATH.floor(MATH.pi/MATH.sin(1/2/n));
この式も間違いです。
ともに「arcsin」に相当する「ASIN」を使わないといけません。

つまり
>=FLOOR(PI()/ASIN(1/2/A1),1)
>ans1=MATH.floor(MATH.pi/MATH.asin(1/2/n));
の計算式を使った計算の方が正しい結果となります。

なぜ、似たような結果がでてくるかといえば
|x|<<1ではsin(x)≒x,　arcsin(x)=sin^(-1) (x)≒x
で今の場合、x=1/(2n)でnが大きくなるほど上の近似式の近似誤差が小さくなる。しかし、sin(x)とarcsin(x)は同じではありませんから、微妙な場合（ガウス関数の跳躍値の境界付近）には誤差が整数に１になって計算結果に現れます。

お礼

いっきに全ては理解できないので、しばらく考えます。

ご回答、本当にありがとうございます。

回答No.1

tecchan22

ｎ＝１，２，３，４のとき夫々６，１２，１８，２５個の間違いでは？
（そもそも図形的に、円周の長さがｎに比例しますから、円の配置できる個数も、大体ｎに比例しそうですよね）

なので、あなたの予想を修正して、
ｎ≦３では６ｎ
ｎ≧４では６ｎ＋１
となりそうだが、どこかで６ｎ＋２となることはあるか？

という予想だとして答えます。

（ｒ＝１として一般性を失わないので）
問題
↓
半径２ｎの円に、一辺の長さ２以上のｍ角形を内接させるとき、ｍの最大値は？・・・(1)
↓
半径２ｎの円に正ｍ角形を内接させたとき、一辺の長さが２以上になる最大のｍは？・・・(2)

と言い換えられますね。（考えてみて下さい）

(1)，(2)のどちらで考えても良いが、(2)で考えると、
２ｎｓｉｎ（π／ｍ）≧１をみたす最大のｍ　・・※
となりますね。
そこから最大のｍを式で表せば、
[π／sin-1(1/2n)] ・・★
となります。（これは(1)からの方が求めやすいかも）

★では計算しにくいので、概算をすると、
※と「ｘ＞０のとき、ｓｉｎｘ＜ｘ」より、ｍは少なくとも、
２ｎπ／ｍ＞１⇔ｍ＜２ｎπ（＝６．２８３１・・×ｎ）
をみたさねばなりません。
つまりｍ≦[２πｎ]です。
[２πｎ]は、ｎ＝1,2,3,4,・・・として、順に
6,12,18,25,31,37,43,50,・・となりますので、
はじめて６ｎ＋２以上となる可能性があるのは、ｎ＝８のときです。

このときは計算により、確かに１６ｓｉｎ（π／５０）≧１となり、５０個配置でき、６ｎ＋２個になります。

色々省略した（のに長くなった><）が、なるべく自分で考えてみて下さい。

お礼

ご回答ありがとうございます。

＞ｎ＝１，２，３，４のとき夫々６，１２，１８，２５個の間違いでは？
間違えました。

＞（ｒ＝１として一般性を失わないので）
とあるので、この場合の『２』は２ｒ、『ｎ』はｎｒってことですよね。

この考え方に慣れるまで、時間がかかりそうですが、頂いたアドバイスで、理解できそうです。