無限級数をフーリエ級数で計算する

質問

1+ 1/(3^2)+ 1/(5^2)+ 1/(7^2)....=(π^2)/8　をフーリエ級数を使って求めようとしています。
　http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/series/series.htm
　このサイトに解き方が書いてありますが、上の級数での場合のF(X)がわかりません。どなたか教えてもらえませんか？

回答No.3

proto · ベストアンサー

＞私はF(X)=X^2をフーリエ展開すると　
＞X^2=1/(3)*π^2 +4(1/(1^2) +1/(2^2) + 1/(3^2)....という答えがたまたまでてきたので、
＞そこにX=πをいれればξ(2)=(1/6)π^2が成り立つと思っていたのですが、
＞そうではなくて全てF(X)=X^2で良いうことですか？

もう少し冷静になって理論展開をたどった方がいいと思います。

まずX^2をフーリエ展開するとどうなりますか？
　　X^2=1/(3)*π^2 +4(1/(1^2) +1/(2^2) + 1/(3^2)....
ではないですよね？
なんせ、これだと右辺には変数のXが登場しないから定数ですよ。
そうではなくてX^2の展開はフーリエ級数の基本に忠実に計算して、
　　X^2=1/(3)*π^2 +4(cos(X)/(1^2) +cos(2X)/(2^2) + cos(3X)/(3^2)....
です。これは参考urlにも書いてあります。
右辺にもXが含まれていて、関数X^2が右辺では三角関数(cos(nX))の和で表されていることがわかります。

ここまでは純粋にフーリエ級数の話で、ζ関数はまだ出てきていません。

ここで先ほど展開した式にX=πを代入するのがポイントなんですね。
普通に両辺にX=πを代入するだけです。
代入すると
　　π^2 = 1/(3)*π^2 +4(1/(1^2) +1/(2^2) + 1/(3^2)....
になりますね。
このとき4で括られた括弧の中が偶然にもζ(2)と同じ形をしているんですね。
ですから右辺を書き換えて
　　π^2 = 1/(3)*π^2 +4*ζ(2)
ここから、ζ(2)=...の形に式を整理すれば
　　ξ(2)=(1/6)π^2
が示されます。

全てF(X)=X^2で良いうことですか？というのはよく意味がわからないんですが、
おそらくζ(4)の値を求めるときにはF(X)=X^4としてF(X)をフーリエ展開するんだと思いますよ。

お礼

お礼でなくて間違って補足に入力していました＾＾；

補足

ありがとうございます。
　X=にπなりをいれて級数の形を整える事は分かっていたのですが、その級数が1/(奇数^2)にするにはどうすればいいのかが分からなかったのです。

　F(X)=Xで級数が出てきたので、なんとか解けました。

回答No.2

oyaoya65

＃１さんと同じで参考URLでのF(X)は
F(X)=X^2　, [-π,π]
でOKです。

回答No.1

proto

フーリエ級数の説明の中でのF(X)ならば、F(X)は普通の一般の関数を表しているのでなんでもよいです。
sin(nX)やcos(nX)の係数an,bnをうまくとれば、一般の関数F(X)が三角関数の無限和で表されることを言っています。

その後の、ζ(2)を計算するために展開するF(X)でしたら、参考のページの証明の冒頭にF(X)=X^2とすると書いてあるので、X^2を[-π,π]の範囲で周期関数として展開しているみたいですよ。

お礼

ありがとうございます。
　私はF(X)=X^2をフーリエ展開すると　X^2=1/(3)*π^2 +4(1/(1^2) +1/(2^2) + 1/(3^2)....という答えがたまたまでてきたので、そこにX=πをいれればξ(2)=(1/6)π^2が成り立つと思っていたのですが、そうではなくて全てF(X)=X^2で良いうことですか？