p=dy/dxを使った微分方程式

質問

[p=dy/dxとして、
(1)
y=2xp+p　　解：4(y+x)^3=(2x^3+3xy+c)^2 特殊解：y=0
(2)
xy=p+x 解：y=1+ce^(x^2/2) 特殊解=?
の解き方が思いつきません。
xで微分したり、ｙで微分したりしましたが解くことができません。
どなたか考え方教えていただけませんか？

回答No.4

Mr_Holland · ベストアンサー

＃２です。
＞y=2xp+p^2 解4(y+x^2)^3=(2x^3+3xy+c)^2　でした。すいません

　(1)は問題が違ったのですね。（どおりで複雑な一般解だと思いました。）
　この微分方程式は非正規形なので少し工夫が要ります。
　方針としては、両辺をｘで微分してｘをｐの関数とみなして式を整理すると、微分方程式が同次形(dy/dx=f(y/x)で表される形）に帰着しますので、その順で解いていくことにします。以下、その過程を順を追って記していきます。

１）与えられた微分方程式をｘで微分。
　　y＝2xp+p^2　・・・・・・・・・・（A)
　⇒p＝2p+2xp'+2pp'　　←両辺をｘで微分。
　⇔p＝-2(x+p)p'
　⇔p+2(x+p)dp/dx＝0
　⇔dx/dp+2x/p＝-2　・・・・・・・・（B)；　←同次形に帰着。
２）式(B)の同次形微分方程式を解くため、x＝puとおく。←（同次形の常套手段)
　　x＝pu　∴dx/dp＝u+p・du/dp　・・・・（C)
　式（C)を式（B)に代入すると、
　　u+p・du/dp+2u＝-2
　⇔p・du/dp＝-(3u+2)
　⇔dp/p＝-du/(3u+2)
　⇒log|p|＝-1/3 log|3u+2|+C、C:積分定数　←両辺を積分。
　⇔p＝c/(3u+2)^(1/3)、　C':積分定数　←両辺の対数を外し、CをC'に置き換え。
　∴(3u+2)p^3＝c、　c：積分定数　←C'をcに置き換え。
　ここで、u=x/pなので、
　　(3x+2p)p^2＝c　　・・・・・・・・・（D)
　これで、xとpの一般解が求められました。
　次に、これをxとyの一般解に直します。
３）式(A)と式(D)を連立してxとyだけの式にする。
　式（D)を変形して、
　　(3xp+2p^2)p＝c
　⇔{2(2xp+p^2)-xp}p＝c　　←式（A)の右辺にあわせて変形。
　これと式（A)を連立して、
　　(2y-xp)p＝c　　・・・・・・・・・・（E)
　ここで式（A)から
　　p^2+2xp-y＝0
　∴p＝-x±√(y+x^2)　　・・・・・・・・（F)　　←2次方程式の解の公式
　式（F)を式（E)に代入してpを完全に消去し、xとyだけの式にする。
　　[2y-x{-x±√(y+x^2)}]{-x±√(y+x^2)}＝c
　⇔-(2x^3+3xy)±2(y+x^2)√(y+x^2)＝c^2　　←左辺を展開して整理。
　⇔±2(y+x^2)√(y+x^2)＝2x^3+3xy+c^2
　∴4(y+x^2)^3＝(2x^3+3xy+c^2)^2　　←両辺を2乗。

　これで、求める一般解が得られました。
　なお、特殊解については、C=0のときのｙ＝０になっています。

お礼

とても丁寧な解説ありがとうございます。
早朝までこの問題に時間を割いてくれたことは、
とても感謝しつくせない限りです。
本当にお疲れ様でした。
解説もわかりやすく、よく理解することができました。
また、計算力もかなり必要な問題だということがわかりました。
計算ミスしやすいので何度も解いてできるようにがんばります。

私はフーリエ・ラプラス変換と微分方程式を勉強中です。
まわりに聞ける人がいないので、
今後もここを利用すると思います。
その時はよろしくお願いします。
長文失礼しました。

回答No.3

akitaken

y'=pと置く時、y=px+f(p)の形になる微分方程式をクレローの方程式といいます。
これを解くには両辺ｘで微分してください。
y'=p'x+p+f'(p)p'となります。ここでy'=pですから代入して変形すると
p'{x+f'(p)}=0

あとはp'=0の時とx+f'(p)=0の時について調べるだけです。

もし勘違いしていたらすみません。

補足

y=2xp+p^2 解4(y+x^2)^3=(2x^3+3xy+c)^2
でした。すいません

(1)
のときｘで微分すると、
p=2p+2xP'+P'
になりました。その後どうしたらいいのでしょうか。
調べるとは具体的にどうしたらいいのでしょうか。

回答No.2

Mr_Holland

変数分離で解いてはいかがでしょうか。

(1)　y=2xp+p
　⇔ y＝(2x+1)dy/dx
　⇔dy/y＝dx/(2x+1)
　⇔log|y|＝1/2 log|2x+1|+C
　⇔ y＝C√(2x+1)　・・・・・一般解
　特殊解はC＝0のときのｙ＝０

　（ただし、一般解が4(y+x)^3=(2x^3+3xy+c)^2を満たすかは確かめていませんが。）

(2)　xy=p+x
　⇔ x(y-1)＝dy/dx
　⇔ dy/(y-1)＝x・dx
　⇔log|y-1|＝1/2 x^2+C
　⇔|y-1|＝C・exp(1/2 x^2)
　⇔ y＝1+C・exp(1/2 x^2)　・・・・・一般解
　特殊解はC＝0のときのｙ＝１

お礼

とてもわかりやすい解説ありがとうございます。

補足

間違ってＯＫボタンを押してしまって、お礼が一行に・・
すいません。
とても参考になりました。
ありがとうございます

回答No.1

Willyt

ｙ＝１　が特解になりますね。原式に代入して見て下さい。特解はだいたい視察で見つけるのが普通です。積分定数を変数と看做して求める方法がありますが、これは面倒くさいだけですから・・・。

お礼

回答ありがとうございます。