証明問題の添削依頼

質問

下の問題をやってみたのですけど、これでいいかだれか添削お願いします。
問題)ｄｉｍＶ＝ｎとし、Ｕ、ＷをＶの部分空間とする。もしｄｉｍＵ＋ｄｉｍＷ＞ｎならば、Ｕ、Ｗは0以外の元を共有することを証明せよ。
証明)Ｕ、Ｗは有次元であって、ｄｉｍＵ＝ｓ、ｄｉｍＷ＝ｔとおく。いまＵ、Ｗが零ベクトルのみを共有する場合を考える。
このとき、
　　ｄｉｍ(Ｕ＋Ｗ)＝ｄｉｍＵ＋ｄｉｍＷ
　　ｄｉｍＵ＜ｎ、ｄｉｍＷ＜ｎ
となる。
したがって
　　ｓ＋ｔ≦ｎ
すなわち
　　ｄｉｍＵ＋ｄｉｍＷ≦ｎ
である。ゆえにこの命題の対偶が成立するので、元の命題も成立する。

Ｖをベクトル空間、Ｗ1、Ｗ2、Ｗ3をＶの部分空間とするとき、
　　(Ｗ1∩Ｗ3)＋(Ｗ2∩Ｗ3)⊂(Ｗ1＋Ｗ2)∩Ｗ3
であることをしめせ。
また上の式で等号が成り立つならば、1,2,3を任意に並びかえたｉ,ｊ,ｋに対しても
　　(Ｗi∩Ｗk)＋(Ｗj∩Ｗk)＝(Ｗi＋Ｗj)∩Ｗk
が成り立つことを証明せよ。
あと上の問題の方針がつかめないので、すこしヒントをください。

回答No.1

zk43

少なくとも私にはｓ＋ｔ≦ｎが出てくる論理が分からない。
というか、全体として全く分からない。

次のような感じではどうでしょうか。

Uの基底をu1,…,us、Wの基底をw1,…,wtとすると、s+t>nより、
u1,…,us,w1,…,wtは一次従属であり、少なくとも１つは0でない
スカラーa1,…,as,b1,…,btに対して、
a1u1+…+asus+b1w1+…+btwt=0
が成り立つ。
ここで、a1u1+…+asus=0とすると、u1,…,usは一次独立だから、
aiはすべて0、そして、b1w1+…+btwt=0となるので、w1,…,wtは
一次独立だからbjはすべて0になってしまう。
よって、a1u1+…+asus≠0
u=a1u1+…+asusとおけば、これは0ではなく、u=-b1w1-…-btwt
と表せる。
uはもちろんUに属し、また、w1,…,wtの線型結合でも表わされている
ので、Wにも属する。

次のはまだよく考えていない。
（一回の質問では、問題を１つにして要点を絞った方が良いと思います
よ。）

お礼

回答ありがとうございます！！