単射

質問

線形空間Vは部分空間W1,W2の直和になっている。VからV'への線形写像fが単射ならImf=f(V) (+) f(W)となる

これをしめしたいです。
線形空間VはW1,W2の直和であるため、
dim V=dimW1 + dimW2というのは解ります
ここからどうしたら良いでしょうか？

この命題がイメージ的に成立することは解ります。
ただ何故単射でなくてはいけないのでしょう？

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

＞Imf=f(V) (+) f(W)
(+)とは、直和の記号の事ですか？
Imf=f(W1) (+) f(W2)の間違いでしょうか？

違ったら、この回答はなかった事にしてください。

＞ここからどうしたら良いでしょうか？
任意のVの元ｘに対して、
f(x)=y1+y2　(y1∈f(W1),y2∈f(W2))
と一意的に表せる事を示せばいいはずです。
(VはW1,W2の直和で、ｆは線形写像・単射という条件を使います)

＞ただ何故単射でなくてはいけないのでしょう？
例えば、V=R^2,W1={(x1,0)|x1∈R},W2={(0,x2)|x2∈R},f:(x1,x2)├→x1+x2としたら、
f(0,0)=f(0,0)+f(0,0)=f(1,0)+f(0,-1)
となる事から、Imf=f(W1) (+) f(W2)ではないです。

補足

その通りです間違いでした。
単射であることの必要性は解りました。
ありがとうございます。