ベクトル空間の問題が解けなくて困っています。

質問

ベクトル空間の問題でW1,W2がR^nの部分空間のとき、W1∩W2もR^nの部分空間になることを証明することです。
すごく困っています。どうか教えてください。お願いします。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

Ｗ１、Ｗ２はＲ^nの部分空間なので、次のことが成り立ちます。

　　ｘ１、ｙ１∈Ｗ１、ｋ∈Ｒ　のとき　ｘ１＋ｙ１∈Ｗ１、ｋｘ１∈Ｗ１
　　ｘ２、ｙ２∈Ｗ２、ｋ∈Ｒ　のとき　ｘ２＋ｙ２∈Ｗ２、ｋｘ２∈Ｗ２

　次に、Ｗ１∩Ｗ２　について考えます。

　　ｘ３、ｙ３∈Ｗ１∩Ｗ２、ｋ∈Ｒ　とすると、

　　　　ｘ３、ｙ３∈Ｗ１　なので　ｘ３＋ｙ３∈Ｗ１
同様に、ｘ３、ｙ３∈Ｗ２　なので　ｘ３＋ｙ３∈Ｗ２
　　∴　ｘ３＋ｙ３∈Ｗ１∩Ｗ２　　・・・・（１）

また、　ｘ３∈Ｗ１　なので　ｋｘ３∈Ｗ１
同様に、ｘ３∈ｗ２　なので　ｋｘ３∈Ｗ２
　　∴　ｋｘ３∈Ｗ１∩Ｗ２　　　　・・・・・（２）

（１）、（２）より、Ｗ１∩Ｗ２はＲ^nの部分空間　である。

お礼

ありがとうございました