直和に関する命題

質問

ベクトル空間Vの部分空間W1,…,Wkについて
V=W1+W2+…+Wkとする。この時次の三つの命題は同値であることを示せ。
(1)∀v∈Vに対しwi∈Wi(i=1,…,k)でv=w1+w2+…+wkとなる
{w1,…,wk}がただ一組存在する。
(2)任意のi∈{1,2,…,k}に対し
Wi∩(W1+…+Wi-1+Wi+1+…+Wk)={0}が成り立つ。
(3)dimV=dimW1+dimW2+…+dimWkが成り立つ。

(2)⇒(3)は示せたのですが(1)⇒(2)、(3)⇒(1)はどう示せばいいのでしょうか？

回答No.3

Tacosan

(1)→(2) は対偶を考えてもいいかも.
Wi∩(W1+…+Wi-1+Wi+1+…+Wk)≠{0} と仮定すると x ∈ Wi かつ x ∈ W1+…+Wi-1+Wi+1+…+Wk を満たす x≠0 が存在するんだけど, こいつが 2通りの和で書けることを示す.

回答No.2

koko_u

残りは(1) => (2) ですか。

証明するとしたら、帰納法かな？
i) k = 2 の場合、条件(1)から v = w1 + w2 となる w1, w2 をもって、 f : V -> W1 ( v -> w1 )が定義できる。(以下省略)

ii) k の場合に成立を仮定して V, W_1,W_2,...,W_k,W_(k+1) が (1)を見たすとする、この時 V/W_(k+1),(W_1+W_(k+1))/W_(k+1),...,(W_k+W_(k+1))/W_(k+1) が (以下省略)

最後まで考えてないので違ってるかも。

回答No.1

koko_u

試しに (2) => (3) の証明を書いてみて。

補足

失礼しました。(2)⇒(3)ではなくて(3)⇒(2)でした。

Ui=W1+…+Wi-1+Wi+1+…+Wkとする。
V=Ui+Wiより
dimUi≧dimV-dimWi=Σ(j≠i)dimWj
一方でdimUi≦Σ(j≠i)Wj
よってdimV=dimWi+dimUi
一般にdimW1+dimW2=dim(W1+W2)+dim(W1∩W2)であるから
Wi∩Ui={0}

(2)⇒(1)を考えてみました。
Vの元が二通りに
v=Σ(j=1→k)wj=Σ(j=1→k)w'j、wj,w'i∈Wj(j=1,…,k)
と書き表せる時wi-w'i=Σ(j≠i)(wj-w'j)が成り立ち、
左辺はWiの元、右辺はUiの元となり共にWi∩Uiの元、即ち0となる。
iは任意であるからVの元の書き方は一通りに定まり、
v=Σ(j=1→k)wjと書ける。