空間ベクトルと線形独立の条件？

質問

ベクトルの成分の条件がわからないので質問します。
uべクトルを→uと書きます。また内積の記号は・を使います。お願いします。
xyz空間の点Pを通り、2つの空間ベクトル→u,→vに直交する直線を求めよ。
解答、P(a_1,a_2,a_3)、→u(u_1,u_2,u_3)、→v(v_1,v_2,v_3)としましょう。求める直線の方向ベクトル、つまり直線と同じ向きを向いたベクトルの1つを、
→w(w_1,w_2,w_3)とおきます。すると→wと→u、→vと直交するので、
→w・→u=→w・→v=0が成り立ちます。これを成分で表すと、
w_1u_1+w_2u_2+w_3u_3=0・・・(1) w_1v_1+w_2v_2+w_3v_3=0・・・(2)ここからがわからないところです。
いまu_1v_2-u_2v_1≠0が成り立つとしましょう。これは平面ベクトルで
→u(u_1,u_2)、→v(v_1,v_2)が線形独立であるための必要十分条件なので、空間ベクトルでつかっていいとは思えません。本では、すると(1)*v_2-(2)*u_2を計算して、w_1=-(u_3v_2-u2v_3)*w_3/(u_1v_2-u_2v_1)。同様に(1)*v_1-(2)*u_1より
w_2=-(u_3v_1-u1v_3)*w_3/(u_2v_1-u_1v_2)がえられ、そこで、w_3=u_1v_2-u_2v_1とすると、
→w=(u_2v_3-u_3v_2,u_3v_1-u_1v_3,u_1v_2-u_2v_1)と方向ベクトルを求めています。
いまu_1v_2-u_2v_1≠0が成り立つとしましょう。なぜこのような条件がつけれるのか説明してください。お願いします。

回答No.6

178-tall

ANo.4 = 訂正 への蛇足でも…。

>直交条件として「内積ゼロ」を利用した (1), (2) 式は、
>　u1w1 + u2w2 = -u3w3　　…(1)’
>　v1w1 + v2w2 = -v3w3　　…(2)’
>となる。
>「u1v2 - u2v1 = 0」だと、左辺の「係数行列式」の値がゼロだということ。
>つまり、(1)’, (2)’の解は「平面」。
　　　　　↑
「u1v2 - u2v1 = 0」の場合、u1/v1 = u2/v2 が成立つ。
この場合には、u3/v3 が u1/v1 (= u2/v2) に等しければ、(1)’と (2)’は互いに正比例する式であり、その一方が成立てば、他方も成立つ。
(1)’が成り立つとき、つまり
　u1w1 + u2w2 = -u3w3
の場合、求めるベクトル w(w1, w2, w3) を (X, Y ,Z) と記せば、
　u1X + u2Y + u3Z = 0
が成立、これはベクトル w(w1, w2, w3) を含む平面である。

残るケース、つまり u3/v3≠u1/v1 (= u2/v2) のケースでは、(1)’, (2)’の解は存在しない。

回答No.5

178-tall

>u_1v_2-u_2v_1≠0が成り立つとしましょう。なぜこのような条件がつけれるのか説明してください。

引用された下記の「解」では、分母の (u1v2-u2v1) がゼロになり、結果を得られないから…でしょう。
　w1=-(u3v2-u2v3)*w3/(u1v2-u2v1)
　w2=-(u3v1-u1v3)*w3/(u2v1-u1v2)

回答No.4

178-tall

ANo.3 の錯誤を訂正・

直交条件として「内積ゼロ」を利用した (1), (2) 式は、
　u1w1 + u2w2 = -u3w3　　…(1)’
　v1w1 + v2w2 = -v3w3　　…(2)’
となる。
「u1v2 - u2v1 = 0」だと、左辺の「係数行列式」の値がゼロだということ。
つまり、(1)’, (2)’の解は「平面」。

回答No.3

178-tall

>直交する平面など想像できるように、…

「ご質問だけ」からの推察で、まずは「幾何学的イメージ」のレスにとどめました。

直交条件として「内積ゼロ」を利用した (1), (2) 式は、
　u1w1 + u2w2 = -u3w3　　…(1)’
　v1w1 + v2w2 = -v3w3　　…(2)’
となる。
「u1v2 - u2v1≠0」という条件は、左辺の「係数行列式」の値がゼロだということ。
つまり、(1)’, (2)’の解は「平面」。

… というのが「代数的なイメージ」。

回答No.2

178-tall

>いま　u_1v_2-u_2v_1≠0　が成り立つとしましょう。
>…
>なぜこのような条件がつけれるのか説明してください。

「ご質問だけ」から推察するに、「xyz-空間」の 2 つのベクトル u, v の x-y 平面成分 (u1, u2, 0) と (v1, v2, 0) の双方に直交する直線を求めようとしている気配、だと憶測。

… だとすれば、(u1, u2, 0) と (v1, v2, 0) が同じ方向 (u1/v1 = u2/v2) じゃ、「両ベクトルに直交する平面」しか得られない。
…ので、そのケースを排除している
…のでしょう。

お礼

直交する平面など想像できるように、勉強したいです。
アドバイスありがとうございます。

回答No.1

muturajcp

(→u)(u_1,u_2,u_3)と(→v)(v_1,v_2,v_3)の
外積
(→u)×(→v)=(u_2v_3-u_3v_2,u_3v_1-u_1v_3,u_1v_2-u_2v_1)
の絶対値
|(→u)×(→v)|=√{(u_2v_3-u_3v_2)^2+(u_3v_1-u_1v_3)^2+(u_1v_2-u_2v_1)^2}
は
(→u)と(→v)を2辺とする平行四辺形の面積となるので

|(→u)×(→v)|=0の時
(→u)と(→v)は線形従属となり
(→u)と(→v)が線形従属の時
|(→u)×(→v)|=0となる

(→u)と(→v)が線形独立の時
|(→u)×(→v)|≠0となり
|(→u)×(→v)|≠0の時
(→u)と(→v)が線形独立となる

|(→u)×(→v)|≠0は(→u)と(→v)が線形独立であるための必要十分条件となる

(→u)と(→v)が線形独立ならば
|(→u)×(→v)|
=√{(u_2v_3-u_3v_2)^2+(u_3v_1-u_1v_3)^2+(u_1v_2-u_2v_1)^2}≠0
だから
u_2v_3-u_3v_2≠0
または
u_3v_1-u_1v_3≠0
または
u_1v_2-u_2v_1≠0
のどれかが成り立つから

u_1v_2-u_2v_1≠0が成り立つとしましょう

という条件がつけられる

お礼

外積などを使って高度な説明がいるんですね。アドバイスありがとうございます。