次の式変形の仕方

質問

以下の式変形の仕方が分かりません。

∫（ｘ－∫ｙdy　）^2 dx

＝　1/2　∬（ｘ－ｙ）^2 dx　dy

＾は累乗、∫は積分を表します。

これはどういう風に変形しているのでしょうか？
式変形の詳細を教えてください。お願いします。

回答No.5

info22 · ベストアンサー

#2,#3,#4です。

積分範囲が0～1であるとすれば
∫{x－∫ｙdF(y)}^2 dF(x)
＝∫[(x^2)+{∫ｙdF(y)}^2 -2x∫ｙdF(y)] dF(x)
＝∫∫[(x^2)+xy-2xy] dF(y) dF(x)
＝(1/2)∫∫{(x^2)+(y^2)-2xy} dF(x)dF(y)
＝(1/2)∫∫(x－y)^2 dF(x)dF(y)
と変形できます。

なぜそう変形できるか位は自分でよく考えてみてください。
A#4が理解できないなら分からないかも知れませんが…。

お礼

あとはよく考えて見ます。
ありがとうございました。

回答No.4

info22

F(-∞)=0,F(∞)=1ですから
分布関数F(x)は　0≦F(x)≦1の値をとる(単調)増加関数です。
x=-∞→∞と変化するとF(x)=0→1に変化します。
分布密度関数をf(x)とすると
F(x)=∫[-∞,x]f(x)dx (-∞<x<∞)です。
したがって、
dF(x)=f(x)dx
で積分区間はF(x)の 0～1がf(x)の-∞～∞に対応します。
∫[0,1]ydF(y)=∫[-∞,∞] yf(y)dy=m (期待値=平均値)
左辺=∫[0,1]（x－∫[0,1]ｙdF(y)　）^2 dF(x)
=∫[-∞,∞]（x－∫[-∞,∞]ｙf(y)dy)^2 f(x)dx
=∫[-∞,∞]（x－m)^2 f(x)dx
=∫[-∞,∞] {f(x)x^2-2mf(x)x+f(x)m^2}dx
=∫[-∞,∞] f(x)x^2dx -2m∫[-∞,∞] xf(x)dx +(m^2)∫[-∞,∞] f(x)dx
=σ^2 -2m^2 +m^2=σ^2-m^2　…(A)
ここでσ^2はxの二乗平均値（二乗の期待値）です。

右辺=1/2∫[0,1]{∫[0,1]（x－y)^2 dF(x)}dF(y)
=1/2∫[-∞,∞]{∫[-∞,∞]（x－y)^2 f(x)dx}f(y)dy
ここで
∫[-∞,∞]（x－y)^2 f(x)dx=∫[-∞,∞]（x^2－2yx+y^2) f(x)dx
=σ^2-2ym+y^2
したがって
右辺=1/2∫[-∞,∞] (σ^2-2ym+y^2)f(y)dy
=(1/2){(σ^2)∫[-∞,∞] f(y)dy-2m∫[-∞,∞] yf(y)dy
+∫[-∞,∞] f(y)y^2 dy}
=(1/2){σ^2-2m^2+σ^2}=σ^2-m^2　…(B)

となって(A)と(B)は等しいですから

F(x)、F(y)の積分範囲を0～1としたとき
左辺＝右辺
つまり
∫(x－∫ｙdF(y)^2 dF(x)＝(1/2)∬(x－y^2 dF(x) dF(y)

という変形が可能ということです。

補足

∫(x－∫ｙdF(y)^2 dF(x)　　　・・・　(1)

＝(1/2)∬(x－y^2 dF(x) dF(y)　・・・　(2)

長い回答ありがたいのですが、質問は(1)から(2)への変形の仕方であって
(1)と(2)が等しいことの証明ではないのです。
(1)から(2)へどうやって変形しているのかを教えてください。

回答No.3

info22

A#1の補足の訂正と元の質問がぜんぜん違いますね。

>∫（ｘ－∫ｙdF(y)　）^2 dF(x)
>＝　1/2　∬（ｘ－ｙ）^2 dF(x)　dF(y)
>F(・)は、確率分布関数。

この積分には積分の範囲が0～1という条件がついていませんか？
そうでないと式の変形ができませんね。

補足

特に積分範囲は書いてありませんでした。

積分範囲が０～１と仮定して、変形の詳細を教えてください。

回答No.2

info22

＞∫（ｘ－∫ｙdy　）^2 dx
と
＞1/2　∬（ｘ－ｙ）^2 dx　dy
は等しくないですから
変形できませんね。

計算すると
∫（ｘ－∫ｙdy　）^2 dx＝(1/3){x-(1/2)(y^2)+C1}^3 +C2
≠
1/2　∬（ｘ－ｙ）^2 dx　dy=-(1/24)(x-y)^4 +C
(C,C1,C2は積分定数)
で～す。

回答No.1

joggingman

上の式からは、
∫{x^2-2x(∫ydy)+(∫ydy)^2}dx
下の式からは、
∫∫(1/2)(x^2-2xy+y^2)dy dx
=∫{(1/2)x^2y-xy^2+(1/3)y^3}dx

任意定数を入れたとしても、
上の式は、yの４次の項があり、
下の式は、yの３次の項があるので、
等しくはなっていないのですが、
何か記号が間違ってないでしょうか？

補足

すみません、正確には以下のようでした。
お願いします。

∫（ｘ－∫ｙdF(y)　）^2 dF(x)

＝　1/2　∬（ｘ－ｙ）^2 dF(x)　dF(y)

F(・)は、確率分布関数。