式変形

質問

問題の解答を読んでいます。解答では、
∫(1/sin2y)dy=(1/2)ln(tany)
と、一気に式変形してしまっているのですが、これはどの様にして変形しているのでしょうか？

回答No.1

owata-www · ベストアンサー

一番（思いつけば）簡単なのは
∫(1/sin2y)dy
＝∫(1/2sinycosy)dy
＝1/2∫(cosy/sinycos^2y)dy
＝1/2∫(cosy/siny)*(1/cos^2y)dy
＝1/2∫(1/tany)*(tany)'dy
かと

回答No.3

spring135

t=tanyとおくと
dy=dt/(1+t^2)
∫(1/sin2y)dy=∫(1/(2siny*cosy))dy=(1/2)∫(1+t^2)/t/(1+t^2)dt
=(1/2)∫dt/t=ln(t)/2=ln(|tany|)/2

回答No.2

info22

>∫(1/sin(2y))dy=(1/2)ln(tan(y))
この解答ではsin(2y)<0の場合が含まれていないので
∫(1/sin(2y))dy=(1/2)ln(|tan(y)|) + C　…（◆）
と絶対値をつけないと正しくないでしょう。
積分は　sin(2y)<0　の場合は tan(y)<0であり
∫(1/sin(2y))dy=(1/2)ln(-tan(y)) + C
となります。Cは、不定積分の積分定数です。
sin(2y)>0の場合、tan(y)>0であり
∫(1/sin(2y))dy=(1/2)ln(tan(y)) + C
sin(2y)>0,sin(2y)<0の場合をまとめると（◆）となります。

積分の仕方は#1さんのやり方でいいですね。
最後に ln( ) の積分に直す時にtan(y)の正負を考えて
ln(|tan(y)|)としないといけないですね。