楕円の円周を表す式

質問

a^2分のｘ＾２＋ｂ＾２分のｙ＾２＝１　（a≧ｂ＞０）

を満たす楕円の円周の長さを求める積分をするのですが、
Ｙについて解くとｙ＝ｂ√１－a^2分のｘ＾２

でありパラメータをもちいると

円周の長さは２∫√１＋（ｄｘ分のｄｙ）＾２ｄｘ　←はａからーａまで積分　

これが２∫√ａ＾２－ｘ＾２分のａ＾２－（ａ＾２分のａ＾２－ｂ＾２）ｘ＾２　ｄｘ　←ａから－ａまで積分　という式に
変形しているのですがどうしてこの式に変形されるかわかりません

どなたか教えてもらえないでしょうか

回答No.1

PRFRD · ベストアンサー

非常に読みにくいので，是非普通の式の書き方をしましょう．
　y = b √(1 - (x^2/a^2))
をxで微分すると
　y' = b x /(a^2 √(1 - (x^2/a^2)))
となります．これを単に代入するだけで，√の中身だけ計算すると
　1 + y'^2
= 1 + (b^2 x^2 / (a^4 (1 - (x^2/a^2))))
= 1 + (b^2 x^2 / (a^2 (a^2 - x^2)))
= ( (a^2 - x^2) + (b^2 x^2 / a^2) ) / (a^2 - x^2)
= ( a^2 - ((a^2 - b^2) x^2/a^2) ) / (a^2 - x^2)
となります．

お礼

ありがとうございました！　参考にします＾＾