球体の表面積の証明で式変形がわかりません。

質問

球体の表面積の証明で式変形がわかりません。

お世話になります。

http://ja.wikipedia.org/wiki/球

S=2πy√[(dx)^2+(dy)^2]
=2πy√[1+(dy/dx)^2]dx

この変形はどうやりますか?

1=dx/dxの様な事だと思うのですが。
これは別にルートの中をこうしなくても求まる気がするのですが、
変形の運びがわかりません。

よろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>S=2πy√[(dx)^2+(dy)^2]
>=2πy√[1+(dy/dx)^2]dx

後半の「√[(dx)^2+(dy)^2]」だけ取り出せば以下のように変形すればいいですね。

√[(dx)^2+(dy)^2]

=√[{(dx)^2}*{1+(dy)^2/(dx^2)}]

=[√{(dx)^2}]*[√{1+(dy)^2/(dx^2)}]

=dx[√{1+(dy/dx)^2}]

=[√{1+(dy/dx)^2}]dx

お礼

なるほどです。

括り出して√分けて2乗だから√外す。ですね、意外と単純でした。
ありがとうございます。

それでですね、続きやってみたんですが、、
わかってるつもりだったんですけど、実際その後もわかりませんでした。。

その後なぜその(dy/dx)^2の項がx^2/r^2-x^2になるのかなんですが、、

dy/dxってxに対してのyの変化分ですよね?
単純に分数見たくみて
dy=√[r^2-x^2]
dx=x

じゃ分子と分母が逆になってしまいます。

微小の面積の幅の中でのyの変化率...。正直よくわかりません。

そのあたりの式的な解説があったらよろしくお願いします。

回答No.3

muturajcp

y=√(r^2-x^2)=(r^2-x^2)^{1/2}
dy/dx=1/2((r^2-x^2)^{-1/2})(-2x)=-x/√(r^2-x^2)
(dy/dx)^2=x^2/(r^2-x^2)

お礼

なるほどです。

1/2((r^2-x^2)^{-1/2})(-2x)

wikiにこの部分が載ってないのは、なんか少し不親切(自分のような算数以下レベルの人にとってw)
な気がしました。

ちょっと微分の勉強に行って来ます。

回答No.1

Kules

2行目のdxはルートの外ですよね？
見た感じdxをルートの外にくくり出しただけのように
見えるんですが…

まあこの式に関わらず
dx、dy２種類あるよりも
ｙがｘの式で表わされていることが多いため
dy/dxを考えた方が楽になりますよって感じですかね。
ちなみに媒介変数表示関数の場合は
S=2πy√[(dx/dt)^2+(dy/dt)^2]dt
となります。

以上、参考までに。

お礼

ありがとうございます。

媒介変数、自分もそういった達者な発想での演算ができるようになりたいです。