プランクの式について

質問

プランクの黒体放射式はいろいろな形がありますが、λ＾5が分母にある式の分子は 8πhc となっています。これをグラフにすると、放射第一定数 Ｃ1 として 2πhc＾2 に変わってしまいます。
なぜなのでしょうか。

回答No.2

YHU00444

ANo.1の再質問で気付きましたが、よく考えますと、ANo.1は「立体角の表面要素dΩあたりのエネルギー流束」の説明をしているのでした（失礼）。
ということで、ANo.1の説明を以下のように訂正します。

まず、黒体表面の面積要素dSの法線方向からθだけずれた方向に輻射されるエネルギーはIλdSdtdΩではなくIλcosθdSdtdΩとなります。
このとき全立体角での積分が∫dΩIλcosθ=4Iλですから、黒体表面のエネルギー流束と空洞内のエネルギー密度との間に4Iλ=cUλの関係が成立するわけです。
http://www.civil.kyushu-u.ac.jp/toshi/Lecture/Kankiso/Kankiso11.pdf

※実は、黒体輻射の問題というのは(1)恒星の表面温度[天文](2)惑星や恒星のエネルギー収支[地球物理](3)熱平衡にある（光子で満たされた）空間のエネルギー[物理]のそれぞれで着目するところが違うので、3種類の異なる表式が出てしまったわけです。
たとえば、天体では黒体とは恒星のことだから星の発光のイメージで(1)式を使うけれども、量子や統計力学をやる分には表面の温度よりも空間のエネルギー密度の方を使うことが多いから(3)式ですべて済ませてしまう、という風に流儀がそれぞれ違うんですね。
たとえば、初期宇宙の理論etc.では(3)だけあれば十分で他は全く使いませんし、一方で工学系で金属の温度測定をやるのに必要だということなら(1)式の方が実用的かもしれない。

ということで、表式が色々あるのは単に天文・地物・物理の派閥争いみたいなもので、結局中身は大して違わないということでご理解頂ければと思います。

お礼

πの件は何となく分かりました。今回の質問も熱伝導を調べていて直面した問題でしたので上記のサイトも参考になりました。

それでも式を導く過程の理論は私には難しすぎます。πがあったりなかったりなど、ちゃんとした理由があり、記載ミスなどではないことで安心しています。計算結果による式を利用するだけの実力しかありませんが、工学的にはそれでもいいかと自分を慰めています。

ありがとうございました

回答No.1

YHU00444

この問題、実は「プランクの黒体輻射式にはいろいろな形がある」理由を考えると、答えは明らかだったりします。

たとえば、波長λ～λ+dλ間にある黒体輻射の「エネルギー流束（単位面積あたりのエネルギー放出量）」をIλとすると、Iλは
Iλ=(C1 /λ5) {exp(C2/λT)-1}^-1[W/m2・1/m]
C1(放射第一定数)=2πhc^2[W・m2],C2(放射第二定数)=hc/k[m・k]
と表せますが、これを黒体表面と熱平衡にある空洞（電磁場）の「エネルギー密度（単位体積あたりのエネルギー）」Uλに着目すれば、4πIλ=c*Uλの関係から
Uλ=(8πhc/λ5){exp(C2/λT)-1}^-1[J/m3・1/m]
と書けるわけです。
※いま単位波長あたりで考えているので、それぞれ1/mだけ次元が変わることに注意！

○「4πIλ=c*Uλ」の導出
まず、単位波長・単位体積あたりに立体角要素dΩの方向に進んでいる電磁波のエネルギーをu(λ,Ω)とします。このとき、断面積dS・長さc*dtの円筒を考えると、円筒内の電磁波のエネルギーはu(λ,Ω)dS*c*dtです。
さて、これが熱平衡でdt間に黒体表面dSから出てきた光であったとすると、IλdtdS=u(λ,Ω)dS*c*dtですから、Iλ=c*u(λ,Ω)が成立します。また、∫dΩu(λ,Ω)=Uλです（∫dΩは全立体角についての積分）。
さらに黒体輻射は等方的ですから、エネルギー流束Iλは方向によりません。よって、∫dΩIλ=4πIλ。∴4πIλ=c*Uλ（終了）

ということで、要は、黒体輻射という物理現象のどの部分に着目するか？によって表式が違ってくるので、係数も変わったというお話でした。

お礼

ご解答ありがとうございます。プランクの式自体が難しすぎるのか、ホームページで説明されている積分などはほとんど分かりません。

「4πＩλ＝ｃＵλ」だと2hc^2 となって π が消えてしまいます。
このような式もホームページでみられますが、これ以外の式中の形式は全く同じだから尚混乱します。