慶應義塾大学医学部の入試問題について

質問

考えたのですがどうしてもわかりません。

直線状に五つの点ABCDEが存在する。いまBから出発して、常に１/２の確率で、右または左の点に移動するとする。ただし、端（A,E）に来たときには、確実にA⇒B,E⇒Dに移動するものとする。このときにｎ回の移動で
Dに到達する確率をPｎを求めよ。

これがわかりません。とりあえず、漸化式を使って解こうと思います。
いまP0=0 P1=1/2というところまではわかりましたが、これ以降が進みません。ご教授お願いできないでしょうか？

回答No.4

noname#181872

Dに到達するには
1)1つ前のターンでCにいるものが1/2の確率で到達
2)2つ前のターンでDにいるものが1/2の確率でEに行き、
1つ前のターンでDに戻るしかなくなり到達
の2通りです。

まあ問題が間違っていたとはいえ、Cに到達する確率が求めたことは
結構使えると思います。上述のことから求められませんか？

補足

レスがつかないということはどなたも解けないようですね。
いま僕自身で解けました。ｎ回でDに到達する確率は、

Pｎ＝１/２-(1/2)^(n/２＋１) (ｎが偶数)
Pn ＝０　 （nが奇数）

でした。どうも

回答No.3

noname#181872

改めて見直すと、エレガントさに欠ける回答だったなぁ。

Pn=1/2b_n-1 +1/2d_n-1=1/2(b_n-1 +d_n-1)
と、
n回の移動を行ったとき、1/2で元の点の左か右にしか行かない、
とどまることはないので、nは奇数のときはA,C,Eのどれかにいて、
nが偶数のときはB,Dのどちらかにいる。

だけでb_nやd_nの計算をしなくても答えは出るんですね。

いい頭の体操になりました。もちろんポイントとかいりませんから！

補足

すいません問題間違えてました。
やっぱりDです。Dに到達する確率を表してという問題でした。

回答No.2

noname#181872

まあひまつぶしにつきあったので、最後まで。

単純に、n回の移動を行ったとき、1/2で元の点の左か右にしか行かない、
とどまることはないので、nは奇数のときはA,C,Eのどれかにいて、
nが偶数のときはB,Dのどちらかにいる。

n回移動したときにCにいる確率をPnは、(n-1)回移動したときに
B、Dにいる確率をそれぞれb_n-1、d_n-1とすれば、
Pn=1/2b_n-1 +1/2d_n-1=1/2(b_n-1 +d_n-1)
そしてb_n=1/2Pn-1+1/2b_n-2=1/2(1/2b_n-1 +1/2d_n-1)+1/2b_n-2
=3/4b_n-2+1/4dn-2
同様にd_n=3/4d_n-2+1/4bn-2
よってbn+dn=bn-2+dn-2
ゆえにnは偶数のときbn+dn=b0+d0=1
nは奇数のときはbn+dn=b1+d1=0

よってPn=0.5（nは奇数）、0（nは偶数）

回答No.1

noname#181872

釣り師のひまつぶしに付き合うのもなんだけど。

P1=1/2ではないでしょ。
スタートBで1回でDには行けないでしょ。

あと、ご教授ではなくご教示では？

補足

すいませんDではなくて、Cに到達する確率です。