確率漸化式について

質問

円周上に、4点A,B,C,Dを反時計回りに等分に配置する。
この時、A,B,C,D上を動く点Qがあり、最初は点Aにそれがある。
さいころを振って偶数の目が出れば、出た目の数だけ隣の点に点Qを反時計回りに移動させ、
奇数の目が出た時は、移動させない。
さいころをn回振った後で、点QがCにある確率をp[n]とおく。
この時、
(1) p[1],p[2]を求めよ。
(2) p[n+1]をp[n]で表わせ。
(3) p[n]を求めよ。

（1）は1/3，4/9と出たのですが、
（2）の漸化式の出し方が、どうしても分かりません・・・。
解法をお教えいただければと思います。

回答No.1

nag0720

(2)
さいころを何回振っても、点QはAかCにあります。

n回振ったとき、点QがCにある確率は p[n] なので、Aにある確率は 1-p[n]
(n+1)回振る場合は、n回目に点QがAにある場合と、Cにある場合とに分けて考えます。

(n+1)回振って点QがCにある確率は
　　n回目に点QがAにある場合は、(1-p[n])*1/3
　　n回目に点QがCにある場合は、p[n]*2/3
両方足すと、
p[n+1]=(1-p[n])*1/3+p[n]*2/3
　　　=(p[n]+1)/3

(3)
p[n+1]=(p[n]+1)/3
これを変形して
p[n+1]-1/2=(p[n]-1/2)/3

後は、q[n]=p[n]-1/2
と置き換えれば計算できますね。

お礼

ありがとうございます。
やっと理解できました・・・。