スルツキー行列を用いた証明について

質問

いつもお世話になっております。

この度は以下の問題を教えていただきたく投稿いたしました。

Sをn×nのスルツキー行列、ならびにpをn×1の価格ベクトルとするとき、Sp=0となることを示しなさい。

このような問題です。恥ずかしながら、この問題で初めてスルツキー行列という言葉を聞き、調べた結果、成分(i,j)がヒックスの需要関数hiを価格pjで偏微分したものである行列ということは分かりました。ですが、これを如何に用いて証明すべきであるかがわかりません。スルツキー方程式を用いてマーシャルの需要関数に書き換えてもみたのですが、そこで詰まってしまいます。

お分かりの方がいらっしゃるようでしたら、考え方のヒントだけでも構いませんので、教えていただけないでしょうか？何卒宜しくお願いします。

回答No.1

noname#161857 · ベストアンサー

(定理1)関数f(x)がx=(x_1,...,x_n)についてk次同次関数であるとき，その偏導関数

f_i(x) = ∂f(x)/∂x_i

はxについて(k-1)次同次になる．

(定理2)関数f(x)がx=(x_1,...,x_n)についてk次同次関数であるとき，

Σ_i f_i(x) x_i = k f(x)

を満す (オイラーの定理)．

同次関数に関する以上の二つの定理と，支出関数が価格について一次同次であること，ヒックスの需要関数は支出関数を価格で偏微分したものであることを結びつければ証明できると思います．

お礼

オイラーの定理を用いるとは全く想像できませんでした。
回答者さまの示していただいた方針通りに、実際に手を動かしてみたところ証明することができました。

丁寧にご回答いただき、誠にありがとうございました。