逆行列の行列による微分

質問

今、あるシステムを構成したく行列方程式を解こうとしているのですが、行き詰ってしまったので質問させていただきます。

YとAを5×1行列、Bを5×3行列、Xをスカラ、Wを5×5行列、Hを3×1行列,B'はBの共役転置行列として、
Y = (A+BH)X・・・(1)
H = -inv(B'WB)B'WA・・・(2)
とします。
((2)を(1)に代入した状態で)Y'Y=Jとおいて、∂J/∂W＝0となるようなWを求めようとしているのですが、逆行列の行列による微分などが出てきてしまい、まったくわからなくなってしまいました。
これは解けるのでしょうか？
行列をvec関数を使ってベクトルになおしてみたりしたのですがinv()の部分がわからなくて・・・。
逆行列の行列による微分さえわかれば何とかなるような気もするのですが・・・。
解けるとすればどのようになるのでしょうか？
解法のヒントや参考になるページなどありましたら紹介していただきたいです。

回答No.1

moumougoo · ベストアンサー

行列の関数を行列で微分することをどうやるかということだと思いますが、
lim(t→0) [f(A+tB)-f(A)]/t
がどうなるか？ということではないでしょうか。ここで、tはパラメータでBは同じ形式の行列です。

で、Bはいろんなものが取れます。つまり、どっちの「方向」に微分しようとしているのかということです。B=Aもあるかもしれませんし、単位行列のようなものもあるかもしれません。

計算の仕方は、１階の微分ができればよいので
(A+tB)^n=A^n + t*n*A^(n-1)*B + o(t^2)
(A+tB)^(-n)=A^(-n) - t*n*A^(-n-1)*B + o(t^2)
という具合にtの1次までの展開係数を考えて計算していきます。

というわけで、展開がたまたまtの1次の項を含まないとか、1次のBの係数に相当する部分が特殊な行列になって考えているいくつかの「方向」について変わらないという事情がないかぎり、必ず「方向」を決める必要があると思います。

お礼

お礼が約1週間も遅れてしまい申し訳ありません。
パソコンが壊れてしまっていて・・・。
少々理解に時間がかかってしまっていたのですが、何とか理解することができました。
ありがとうございました。