正値対称行列の成分計算の問題です。

質問

皆のお知恵を拝借致したく、質問致しました。
質問は、数学の問題です。

r = t(y) * X * Σ * t(X) * y という基本の式が存在します。
ここでr: 1×1のスカラー、y: N×1、X: N×F、Σ: F×F です。加えてF＜Nです。
t()は転置を表現しています。

ここで現在既知な値は、r、ｙ、X、∂r/∂y: N×1、の各成分です。
∂r/∂y = 2 * X * Σ * t(X) * y = b として、bのベクトルの各成分が情報
として与えられているということです。表記は縦ベクトルとしております。

また、Σは、正値対称行列ということが分かっております。そしてsum(y) = 1
という事も分かっております。（Σと混同しないために、ベクトルの成分の和を
sum()で表現しました。）

この時、この与えられた情報のみで、Σの値の異なる各成分 {（F×F-F)/2+F} 個を、
各々計算することは可能でしょうか？
現在非常に悩んでおります...

例えば、2 * X * Σ * t(X) * y = b から、(t(y) * X) ○ X * vec(Σ) = b / 2
という方程式系が成立しますが、(○は、クロネッカー積を表しています。)
当然左辺のvec(Σ)の係数行列のRANKは F であり、解析的には
計算することができません。

一般化逆行列で無理やり計算するしか無いのでしょうか。

また、行列成分の正確な値を計算するためには、追加的にどのような情報
が与えられればいいのでしょうか。

お手数ですが、お教えください...m(_ _)m

回答No.1

alice_44

r = t(y) b/2 が成立ちますから、
r の値が与えられていることは、冗長でしかありません。
z = t(X) y と置くと X Σ z = b/2 であり、
これが与えられる条件の全てということになります。

お気づきの通り、これは F^2 元 N 連立一次方程式ですから、
解が確定するとは限りません。
方程式の rank を検討することも必要でしょうし、
不定解を表現するためには、一般化逆行列を使うことも
有用かもしれません。