整数解の数

質問

１＝＜ｘ＝＜１０、１＝＜ｙ＝＜１０、１＝＜ｚ＝＜１０　
ｘ、ｙ、ｚ整数のとき、
ｘ＋ｙ＋ｚ＝１５を満たす解（ｘ，ｙ，ｚ）は何組あるか。

当然ながら、範囲に１０以下がなければ、１４Ｃ２になると思うが、
１０の範囲がある場合うまい数え方がないか、教えてもらえればと思います。

回答No.6

20080715

＞１＝＜ｘ＝＜１０、１＝＜ｙ＝＜１０、１＝＜ｚ＝＜１０　
＞ｘ、ｙ、ｚ整数のとき、
＞ｘ＋ｙ＋ｚ＝１５を満たす解（ｘ，ｙ，ｚ）は何組あるか。

求めるものは、(x+x^2+x^3+…+x^10)^3 を展開したときの x^15 の係数です。
計算式と答えは、
Σ[k=0～1]comb(3,k)*comb(14-10*k,2)*(-1)^k
=comb(3,0)*comb(14,2)-comb(3,1)*comb(4,2)
=1*91-3*6
=73 です。

一般に、
1<=x<=m,
1<=y<=m,
1<=z<=m,
x+y+z=n
を満たす整数解(x,y,z)の組の総数をa(m,n)とすると、a(m,n)は
(x+x^2+x^3+…+x^m)^3 を展開したときの x^n の係数ですから、
a(m,n)=Σ[k=0～floor((n-3)/m)]comb(3,k)*comb(n-1-m*k,2)*(-1)^k
となります。
たとえば、
a(200,400)=20298,
a(5000,12000)=4504501,
a(80000,170000)=2450105001
など。

お礼

このような数え方があるのは、初めて知りました。
変数が３個のときは、３乗、
変数がｋ個のときは、ｋ乗
ということですか。
ありがとうございました。

回答No.5

alice_38

問題設定が込み入ってくれば、
更に、視覚的な状況把握の
重要性は増す。

「グラフを描け。とにかく、何かしらの
グラフをまず描け。」

回答No.4

mister_moonlight

＞(1)　視覚的に考える。

今度は等号ではなく、不等号だ。どうやって視覚的に考えるんだ？

＞(2)　Ｚ＝１～４でＸ，Ｙを決めていく。

z＝1、or、2　の間違いじゃないか？

＞(3)　その他

他に、どんな方法があるんだ？

＞どんな方法が簡単でわかりやすいのか。ご意見を

どんな方法が分りやすいかは君次第だよ。
話は逆だろう、君がどんな方法で解けるのか、だろう。
解法の難易を評価できるほどの実力の持ち主なの？

回答No.3

alice_38

視覚的に捉えると
ミスが出にくい。

Z を代入消去して、
XY 平面上で格子点を数えよ。

補足

発展させて、Ｘ，Ｙ，Ｚの範囲は１～１０で変わらないとして、
Ｘ＋２Ｙ＋３Ｚ＝＜１５となってくると
(1)　視覚的に考える。
(2)　Ｚ＝１～４でＸ，Ｙを決めていく。
(3)　その他
どんな方法が簡単でわかりやすいのか。ご意見を
お願いします。

回答No.2

mister_moonlight

普通の整数問題として考えた方が良いだろう。

x、y、zについて平等から、10≧x≧y≧z≧1としても一般性を失わない。
よって、3z≦x＋y＋z＝15から、z≦5。つまり、z＝5、4、3、2、1.
(1)　z＝5の時、x＋y＝10　から、整数解：(x、y、z)の組数は？
(2)　z＝4の時、x＋y＝11　から、整数解：(x、y、z)の組数は？
(3)　z＝3の時、x＋y＝12　から、整数解：(x、y、z)の組数は？
(4)　z＝2の時、x＋y＝13　から、整数解：(x、y、z)の組数は？
(5)　z＝1の時、x＋y＝14　から、整数解：(x、y、z)の組数は？

後は、素直に(1)～(5)までの組数をたすと良い。

お礼

普通の整数問題としてみればよかったんですか。
どうしても一つの見方に固執しまいがちになってしまいます。
ありがとうございました。

回答No.1

nag0720

範囲に１０以下の条件がない場合の14C2が分かっているなら、
それからx,y,zが１１以上の組を引けばいいです。

x=11のときは、y=1～3の３組
x=12のときは、y=1～2の２組
x=13のときは、y=1～1の１組
計６組
y≧11、z≧11の場合も同じで、x,y,zのうち２つ以上が同時に１１以上になることはないから、
求める解は、
14C2-6*3=91-18=73

実際に数えてみても、
x=1 のとき、y=4～10の7通り
x=2 のとき、y=3～10の8通り
x=3 のとき、y=2～10の9通り
x=4 のとき、y=1～10の10通り
x=5 のとき、y=1～9の9通り
x=6 のとき、y=1～8の8通り
x=7 のとき、y=1～7の7通り
x=8 のとき、y=1～6の6通り
x=9 のとき、y=1～5の5通り
x=10 のとき、y=1～4の4通り
これらを足せば、73組

お礼

いろいろな数え方があるのをあらためて
感じさせられました。
ありがとうございました。