連続化どうか述べる問題

質問

お世話になります。

　　　　　　　0　　　　 if(x.y)=(0,0)
ｆ（ｘ、ｙ）＝
x^2y/x^4+y^2 otherwise
において連続かどうか述べる問題で、いろいろ調べたところ、（0,0)
上の関数はR可積分である事をしめすらしいのですが、どうやって答えを導いたらよいか分かりません。どのか分かる方よろしくお願いします。

回答No.2

aquarius_hiro

こんにちは。

x^2 = X
y = Y

とおくと、(x,y) ≠ (0,0) で、

f(x,y) = x^2 y/ (x^4 + y^2) = XY/(X^2 + Y^2)

X = r cosθ
Y = r sinθ

とおくと、 (x,y) ∈ R^2 で、

0≦r、-π/2＜θ≦π/2

f(x,y) = r^2 sinθcosθ/[r^2(sin^2θ+cos^2 θ)] = (1/2) sin2θ

となりますので、θ=0、π/2 以外では、

lim_{r→0} f(x,y)≠0 なので、連続ではないですね。

回答No.1

proto

(x,y)=(0,0)のとき , f(x,y)=0
　　(x,y)≠(0,0)のとき , f(x,y)=x^2y/(x^4+y^2)
で合ってますか？

　　x=r*cos(θ)
　　y=r*sin(θ)
と変数変換してr→0の極限をとったとき、θに依らずf(x,y)→0かどうか確かめればいいと思います。

補足

あってると思います。ありがとうございました。