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原点における連続性を調べる問題ですが、わかりません。

連続か不連続かを調べる問題です。問題は (1)z= {(x^3+y^3)/(x^2+y^2) ((x,y)≠(0,0)) {0 ((x,y)=(0,0)) (2)z= {(x^2+y^2)/(x^2+2y^2) ((x,y)≠(0,0)) {0 ((x,y)=(0,0)) の二問です。答えは最初が連続、もう一方は不連続になりますが、なぜそうなるかがわかりません。教えてくれる方おしえてください。

質問者が選んだベストアンサー

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  • arrysthmia
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回答No.2

原点へ近づく近づきかたに依らず 値の行き先が同じなら収束、 そうでなければ発散です。 x = r cosθ y = r sinθ と極座標変換したとき、 r → 0 の極限が収束して その値が θ に依らなければ、 二変数関数の意味で収束します。 その値が、原点での関数値と 一致しているか否か。

gannaitx
質問者

お礼

ありがとうございました。確かにこれで解けました。

その他の回答 (2)

  • Tacosan
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回答No.3

(1) は分子が x と y の 3次で分母が 2次ですから, 「比をとると 1次が残りそう」という予想はつきます. つまり, |(x^3+y^3)/(x^2+y^2)| ≦ a|x| + b|y| となる a, b がありそうだなぁ, くらいは出てきます. なので, この a, b で簡単なものを見付ければなんとかなるな, と. あと, 分母が |x^2+y^2| = |x^2| + |y^2| = |x|^2 + |y|^2 とできるのでちょっとだけ楽に変形できます. これに対して (2) は分子, 分母ともに 2次なので収束しない可能性を最初から見ておくことができます.

  • Tacosan
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回答No.1

どちらも原点に近付けたときの極限を計算すれば OK. (2) はそもそも極限が存在しません. x軸にそって近づけたときと y軸にそって近づけたときで値は違うよね. (1) は |(x^3+y^3)/(x^2+y^2)| ≦ |x|+|y| に気づけば終わり.

gannaitx
質問者

お礼

ありがとうございました。確かに極限存在してませんね@@;。 |(x^3+y^3)/(x^2+y^2)| ≦ |x|+|y| はきずきませんでした。すごい発想力がいいですね・・・。