定積分の微分の問題です

質問

∫の中に、2変数が入っている定積分の微分の問題に関して質問です。
これはどのように解くのでしょうか。
「d/dx∫(-1→2x)e^xt^3dt」

調べてみた結果、
先ず、「e^xt^3」をxで微分し、
次に、「∫(1/t^3)e^xt^3dt」を計算する。
という結論に辿り着いたのですがこれは正しいのでしょうか？
ご教授願います。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

考え方は積の微分公式を適用するだけです。
d/dx{f(x)g(x)}=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
f(x)=e^x, g(x)=∫(-1→2x)t^3dt=H(2x)-H(-1)
g'(x)=H'(2x)*(2x)'={(2x)^3}*2 です。

>　d/dx∫(-1→2x)e^xt^3dt
=d/dx{(e^x)∫(-1→2x)t^3dt}
={d/dx(e^x)}∫(-1→2x)t^3dt
+(e^x)d/dx{∫(-1→2x)t^3dt}
=(e^x)∫(-1→2x)t^3dt
+(e^x){(2x)^3}(2x)'
=(e^x)[{(2x)^4}-1]/4
+(e^x)16x^3
= ... 　　←　あとは自分できますね。

お礼

詳しい計算方法まで示して頂いてありがとうございました！
とても参考になりました。

回答No.2

t11u

＞∫の中に、2変数が入っている定積分
ここで、勘が外れてしまってます。
その定積分における変数はtだけです。そこではxは定数と同様のものになります。
その定積分の意味は、「xがある値のときの」、e^x・t^3の、範囲[-1,2x]における総和、というものです。
このようにxが定数だと理解して積分してみれば、その結果にはxが含まれます。
これをxで微分しろ、つまりxの変化に対する上記の定積分結果の傾きの変化を調べろと言うわけで、この時になって初めてxが変数になります。

お礼

わざわざ書き込みして頂いてありがとうございました！
とても参考になりました。

回答No.1

Ae610

d/dx{exp(x) ・∫(a→g(x))f(t)dt} (aは定数)を求める事になるのでは・・・？。　　((注) ・はかけ算の意味）
F(g(x))=∫(a→g(x))f(t)dt (F(x)はf(x)の原始関数)とすると
d/dx{exp(x) ・F(g(x))}を求めればよいのでは・・・？。

お礼

わざわざありがとうございました！
今後とも宜しくお願い致します。