積分

質問

a＞0,b≧0,0＜p＜1とし、関数y=ax-bx＾2のグラフは定点P(p,p＾2)を通るとする。このグラフの0≦x≦pに対応する部分をCで表す.
(1)aが範囲p≦a≦1を動くとき、C上の点(x,y)の動く領域をDとする。
(ｉ)xを固定して、yの動く範囲を求めよ。
()Dを図示せよ
(2)Ｄの面積Sをpで表し、1/2≦p≦3/4の範囲でＳの最大値と最小値を求めよ。
b＝(a/p)-1より、y=ax-〔(a/p)-1〕x＾2となるのはわかったんですが…
解法お願いします

回答No.1

mister_moonlight · ベストアンサー

文字が多く計算も煩雑なので書き込みにくいです。

条件より、放物線はpy＝apx-ax＾2+px＾2.したがって、ax(p-x)＝p(y－x＾2)である。
x(p-x)＝0の場合は不適から、a＝p(y－x＾2)/x(p-x)となるので、p≦a≦1に代入すると、x(p-x)＞0より、px≦y≦(p-1)x＾2/p+xとなる。
これが
＞(ｉ)xを固定して、yの動く範囲を求めよ。

の答え。但し、ここでは図示は出来ません。

px＝yとy＝(p-1)x＾2/p+xの交点のx座標はpと0.従って、積分区間をpと0として、SはＡ：px＝yでＢ：(p-1)x＾2/p+xとすると、Ｓ＝｜∫(Ｂ-Ａ)dx｜＝(1/6)(p＾2-p＾3)であるから、pの3次関数を1/2≦p≦3/4の範囲で微分を使って増減表を書いてみる。
p＝2/3のとき最大値4/27、p＝1/2のとき最小値1／8になるから　1/8≦Ｓ≦4/27.

＃但し、検算はしてください。