問題

質問

個別指導をしている子に聞かれたのですが分からないので教えて頂きたいです。

y=x^2 と y=ax^2+bx+cとは２点で交わり交点におけるこれら２つの放物線の接線は互いに直交する。
a,b,cが変化するときy=ax^2+bx+cの頂点の全体はどのような集合を作るか図示せよ。

という問題です。
解法の手がかりだけでも構いませんのでよろしくお願いします。

回答No.2

yuusukekyouju · ベストアンサー

2つの交点を（X1,Y1)　（X2,Y2)とします。

交点の条件から
X^2＝aX^2+bX+c
(a-1)X^2+bX+c=0の解がX1,X2となるので
(a-1)X^2+bX+c=(a-1)(X-X1)(X-X2)=0・・・A式
となります。

接線の条件から
2X(2aX+b)=-1
4aX^2+2bX+1=0の解がX1,X2となるので
4aX^2+2bX+1=4a(X-X1)(X-X2)=0・・・B式

A、B式よりX^2,X,定数項のそれぞれの係数を比較して考えれば
a-1:b:c=4a:2b:1の関係が成り立ち

a=-1,c=1/2となり頂点の座標のX,Y座標のｂを消去すればX,Yの関係式が出来ます。
ちなみに頂点の軌跡も放物線になると思います。

頑張って下さい。

お礼

ありがとうございました！
できました。

回答No.1

2718281828

他に回答がついていないようなので、指針だけお伝えします。眠いので計算はしておりません。

(1)問題の放物線がどのようなものか調べます。

y = x**2 と y = a*x**2 + b*x + c が二点で交わり、交点での接線は直交するんですよね。交点のx座標をsとすると、交点の条件からsの二次式が得られます(a)。接線の条件から、sに関する一次式が得られます(b)。(a)(b)を使ってsを消せば、一本の(a,b,c)の関係式ができます(c)。問題の放物線は、係数がこの関係を満たしているます。

(2)頂点の軌跡を調べます。

放物線の頂点はお分かりですね(d)？ そこに(c)を使って、後は上手くやって下さい。何とかなるんでしょう（bが消えると嬉しいのかな？）。

この指針でどうにもならなっかったら、補足を入れて下さい。

補足

ありがとうございます。
接線の条件からsの一次式が得られるとありますが、二次式になってしまいます…
そのまま頑張ってみたのですがかなりややこしくなりつまってしまいました。