三角関数の問題がさっぱり・・・

質問

(問)
θについての方程式
　　　sin3θ=cos2θ　　(0≦θ＜2π)
において、これを満たすθを値が大きい順にθ1,θ2,θ3とする。
このとき、sin(θ1+θ2+θ3)の値を求めよ

・・・という問題なのですが、３倍角・２倍角の公式でsinθ=1,(-1±√5)/4、とまではできたのですが、
sinθ=(-1±√5)/4のときのcosθの正負の判定ができず、二重根号も外せないで行き詰っています。
θ1が最大角であることから、sinθ1=(-1-√5)/4までしか分かりません。

仮にsinθ2=1,sinθ3=(-1+√5)/4とすると、(逆もあり)
sin(θ1+θ2+θ3)
=sin{θ2+(θ1+θ3)}
=(中略)
=cosθ1cosθ3-sinθ1sinθ3
で、cosθが求められずにここで終わりました。

cosθ1,cosθ3の値は求めなくても解けるのでしょうか？
どなたかこの問題が分かる方、ヒントをください！！

回答No.3

-somebody- · ベストアンサー

まず以下の点についてお答えします。

・・・という問題なのですが、３倍角・２倍角の公式でsinθ=1,(-1±√5)/4、とまではできたのですが、
sinθ=(-1±√5)/4のときのcosθの正負の判定ができず、二重根号も外せないで行き詰っています。
θ1が最大角であることから、sinθ1=(-1-√5)/4までしか分かりません。

sinθの値は正しいです。
でも問題をよく読んでくださいね。
解となるθの値が3つしかないとは誰も言っていません。
今回の変域(0≦θ＜2π)においては
cosθが正負どちらの値もとりうるので
全部で解となるθは5つあります。

さて
ここで落ち着いて
単位円に
条件を満たすθの値を作図してみてください。(いい加減でもいいので

すると
sinθ=(-1±√5)/4となる値は4つ取れるはずです。(それぞれ第一象限・第二象限・第三象限・第四象限にひとつずつあるはずです。)

ここで第四象限に点を取るθがθ1
第三象限のものがθ2
第二象限のものがθ3
となります

第一象限のものをθ4としてやると
θ4を用いて
第二象限のものは
θ3=π-θ4
と書けますし
第三象限のものを
θ2=π+αとすると
第四象限のものは
θ1=2π-αとなります。

さて
θ1+θ2+θ3=4π-θ4
になったはずです。

これなら分かると思います。

ちなみに蛇足ですが
θ4=18°だったと思います。

回答No.5

f272

もう一度気を取り直して...
sinθ=1,(-1±√5)/4から，これを満たすθ(0≦θ＜2π)は5つあって，値が大きい順にθ1,θ2,θ3とすれば
θ1+θ2=3π，sinθ3=(-1+√5)/4
が分かる。

回答No.4

nag0720

y=sin3xとy=cos2xのグラフを描くと分かりますが、
この２つの曲線は、0≦x＜2πの範囲では５箇所の交点を持ちます。

その中で大きい順に、
5/3π＜θ1＜7/4π
5/4π＜θ2＜4/3π
5/6π＜θ3＜π
の範囲にあり、
sinθ1=(-1-√5)/4
sinθ2=(-1-√5)/4
sinθ3=(-1+√5)/4
です。
（sinθ=1となるθは４番目ですので対象外です）

さらに、
θ1+θ2=3π
が成立するので、
sin(θ1+θ2+θ3)=sin(3π+θ3)=-sinθ3=(√5-1)/4

回答No.2

f272

#1です。
上の回答はちょっとか違ってるね。0≦θ＜πと勘違いした。

回答No.1

f272

> θ1が最大角であることから、sinθ1=(-1-√5)/4までしか分かりません。
これは間違い。0≦θ＜2πなのだからsinθ=(-1-√5)/4<0にはなりません。
sinθ=1または(-1+√5)/4
となってこれを満たすθを考えると
sinθ2=1
sinθ1=sinθ3=(-1+√5)/4
で，かつ
cosθ1=-cosθ3
という関係にあることも分かります。