対数関数の微分

質問

いつもお世話になっています。

微分のところを勉強していて
　x^n → n x^(n-1)
　sin(x) → cos(x)
　e^x → e^x
などは導関数の定義から求めることができました。

しかし、教科書では対数関数の微分が log(x) → 1/x なることだけは
逆関数の微分を使って求めています。
そのやり方は納得できたのですが、
　lim {log(x+h) - log(x)}/h
から変形して求めることはできないのでしょうか？

回答No.1

chiezo2005 · ベストアンサー

普通に変形すれば左辺のリミットの中は

log((1+(h/x))^(1/h))となるのでeの定義
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/other/kyokugen/henkan.cgi?target=/math/category/other/kyokugen/e-no-teigi.html
から
1/x
になりますよ。

お礼

回答ありがとうございます。

慣れていなくて
log((1+(h/x))^(1/h))
の変形ができていませんでした。

lim {log(x+h) - log(x)}/h
= lim {log(1+h/x)}/h
= lim { log(1+h/x)^(1/h) }
= lim { log(1+h/x)^(x/h・1/x) }
= lim {log(1+h/x)^(x/h)}/x
= (1/x) lim {log(1+h/x)^(x/h)}
のように変形して h→0 のときに
　(1+h/x)^(x/h) → e
となるのが e の定義なので
= (1/x) log(e)
= 1/x
となる、というので合っていますでしょうか？

回答No.2

chiezo2005

#1です。

お答えのとおりであっていますよ(^_^)

お礼

ありがとうございます。
ずっと考えていたのでとてもすっきりしました。