２次関数

質問

２つの２次方程式x^2-(m-3)x+5m=0・・・(1),x^2+(m-2)x-5m=0・・・(2)が共通の解をもつとき、定数mの値を求めよ。
また、その共通の解を求めよ。

という問題で
共通の解をaとすると
(1)a^2-(m-3)a+5m=0
(2)a^2+(m-2)a-5m=0
となり、(1)-(2)を引く、と考えたんですけど
引いた答えが
-(2m-5)a+10m=0で因数分解も分からなくて困ってます。
この続きはどうすれば良いんでしょうか？
最初の段階ですでに間違ってるかもしれません・・・
ちなみに答えはm=0の時共通の解0、m=5/22の時共通の解-1/2です。

回答No.1

debut · ベストアンサー

２ｍ－５＝０つまり、ｍ＝５/２のとき、(1)の方程式の解
は虚数解で、(2)の方程式の解は実数解になるので、
２ｍ－５≠０
よって、-(2m-5)a+10m=0より、a=10m/(2m-5)
これをa^2-(m-3)a+5m=0に代入して整理すれば求められます。

回答No.6

take_5

(1)より、(x-5)m＝x＾2+3x‥‥(3)
(2)より、(x-5)m＝-x＾2+2x‥‥(4)
x-5＝０のときは不適である事を確認したうえで、m＝(x＾2+3x)/(x-5)＝(-x＾2+2x)/(x-5)となるから、これを解いてx＝0、or、-1/2.
以上から、(m、x)＝(0、0)、(5/22、-1/2)。

回答No.5

akira47

両者を加えると、x(2x+1)=0
よつて、x=0またはx=-1/2
x=0のときm=0
x=-1/2のときm=5/22とすぐに出ます。
此等の値を(1),(2)に代入して検算する必要があると思います。

回答No.4

sanori

そのまま続けても解けます。

-(2m-5)a + 10m = 0　なので
a = 10m/(2m-5)
（だたし、2m-5=0 でない、すなわち m=5/2 でないこと）

(1)に代入
(10m/(2m-5))^2 - (m-3)・10m/(2m-5) + 5m = 0
(10m)^2 - 10m(m-3)(2m-5) + 5m(2m-5)^2 = 0
ｍで割って
100m - 10(m-3)(2m-5) + 5(2m-5)^2 = 0
（ただし、ｍ＝０でないこと）
というわけで、ｍが０でないことを前提にしての、
ｍについての二次方程式になりました。

先に、ｍ＝０のほうだけ片付けちゃいますと、
x^2 + 3x = 0
x^2 - 2x = 0
の共通解なので簡単。

さて、二次方程式に戻って、
100m - 10(m-3)(2m-5) + 5(2m-5)^2 = 0
100m - 10(2m^2 -11m + 15) + 5(4m^2 -20m + 25) = 0
(-20+20)m^2 + (100+110-100)m + (-150+125) = 0
結局、一次方程式になっちゃいました。
110m - 25 = 0
m = 25/110 = 5/22
（m=5/2 でないので合格。）

回答No.3

info22

>共通の解をaとすると
>(1)a^2-(m-3)a+5m=0
>(2)a^2+(m-2)a-5m=0
>-(2m-5)a+10m=0
(2m-5)≠0ゆえ
(3)a=10m/(2m-5)
(3)が共通の解になるための条件は
(3)のaが(1)または(2)のどちらかの式を満たすことです。
(3)を(1)に代入して整理すると
5m(22m-5)/(2m-5)^2=0
m=0またはm=5/22
が出てきます。
これらのmを(3)に代入して共通解aが計算できます。
＞ちなみに答えはm=0の時共通の解0、m=5/22の時共通の解-1/2です。

回答No.2

akira47

引いてダメなときは、加えましょう。
共通の解をαとすると、
(x-α)(x-β)=0
(x-α)(x-γ)=0
両者を加えると、(x-α)で括れます。
此で、mが消えて、xが求まります。