写像の問題について・・・

質問

現在カオスについて学習するため、写像について学んでいます。

その中の基本的な部分でつまずいてしまった様で、行き詰っています。

問題は、
「写像f(x)=2x^2-5xはx=0とx=3に不動点を持つ.f^2(x)=xについて解いて,fに対する2周期軌道を求めよ」
という問題なのですが、f(x)の不動点がx=0,3となる事はもちろん分かるのですが、f^2(x)=xがどのように算出されるかが分かりません・・・

答えとしては、{1+√2,1-√2}なるようなのですが、その答えにたどり着けないでいます。

以上の問題が分かる方がいらっしゃいましたら、是非とも教授の方をお願い致します。

回答No.2

ringouri · ベストアンサー

f: x → f(x) [本件では x(2x-5) ]
f(x) = y とおくと、
f^2： y → f(y) [ = f(f(x))]
f(y) = z とおくと、
f^3： z → f(z) [ = ｆ(f(y)) = f(f(f(x))]
....
以下同じように、もとのf(x) のxのところに、y,z,...を順次代入していけば、一般のf^n が導けます。

x = f^n (x) を解けば、ｎ周期点を求めることができます。

お礼

合成関数の関係が出てくる事がいまいち分かっていなかったのですが、以上の解説でよく分かりました。

お付き合いいただき誠に有難う御座いました。

回答No.1

ringouri

f^2の意味が分からないということでしょうか？f(x)=x(2x-5)なので、

まず、ｘ→2x^2-5x と変換されて、これが更に同じ変換を受けるので
f^2(x)→(2x^2-5x)(4x^2-10x-5) これがxになるという条件なので、
x=(2x^2-5x)(4x^2-10x-5)の方程式を解く。
整理すると
x(x-3)(x^2-2x-1)=0
x=0,3,1±√2
0,3は不動点なのであとの２つが求めるものです。

お礼

早速の回答有難う御座います。

おっしゃる通りf^2の意味がよく分かっていなかったようです。
このように考えると、f^3では、
x→=(2x^2-5x)(4x^2-10x-5)と変換されるという事だと思うのですが、その場合解くべき方程式はどのようになるのでしょうか。

その部分がよく分かりません・・・
よろしければ引き続きよろしくお願い致します。