写像がわかりません。すぐに教えてください。

質問

今、通信講座で勉強をしています。
テキストのみでの独学なのですが、テキストは要点のみの説明しかなく解き方が一切載っていなくて困っています。
そもそも写像の意味がよくわかりません。
教科書を読んでもなにか理解できません。
初歩的な問題だと思いますがどなたか私でもわかるように説明してください。

問題：次の式で定義されたRからRへの写像ｆi（1≦i≦5）について，全射，単射，全単射であるかどうかを調べよ。

f1(x)=x+1
f2(x)=x3（Xの3乗）
f3(x)=x3-x（Xの3乗-X)
f4(x)=2x（2のX乗）
f5(x)=x2（Xの二乗）

回答No.1

hinebot · ベストアンサー

写像というのは、判りやすく言えば関数みたいなものです。
集合X,Yがあってｆ：X→Y　が写像であるということは、
Xの任意の要素に対して、ｆによって集合Yの要素が対応づけられていることです。

単射とは写像における要素の対応が１対１であることをいいます。
つまり、
集合Xの任意の要素a,bに対して　写像ｆ：X→Yが　f(a)=f(b) ⇒　a=b　を満たせば、単射です。（結果が等しければ、元の要素も等しいということ）
これの対偶をとって、a≠b ⇒ f(a)≠f(b)　が言えてもOKです。

全射とは集合Yの要素すべてに対して、それに対応する集合Xの要素が存在するときをいいます。
つまり、任意のYの要素pに対して、p=f(q) となるXの要素q が存在すれば写像ｆ：X→Yは全射です。

全単射は、単射かつ全射である写像です。

さて解き方ですが、
問題において、Rは実数です。

まず、a≠b ⇒ fi(a)≠fi(b)が言えれば、単射です。　

写像fiについて、任意の実数yに対してy=fi(x)を満たす実数xが存在するかどうかを考えます。
その結果、その実数xが存在すれば全射です。

単射であり、全射であれば全単射です。

あとはご自分で考えてみましょう。
※ところで、問題の解答はあるんですよね。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。
昨夜、どうしても解けなくて半泣きになりながら
悩んでいました。
皆さんの回答を元に今晩、もう一度考えてみます。
本当にありがとうございました。

回答No.3

oshiete_goo

一般的な話は既にきちんとした解説がなされていますので, ちょっとだけアドバイス.
今の場合, 比較的簡単な関数なので, y=fi(x) のグラフをそれぞれ描いてみてください. f3(x)以外は簡単なはずです. y=f3(x)は微分法をやってないと正確には描けません. 計算による方法で結果を出した後, 電卓などで-1≦x≦1に特に注意して点をとって見ると雰囲気は分かるでしょう．（でもそれでは正式の解答にはなりませんのでご注意．）

定義域＝xの変域 (今は実数全体)
値域＝yの変域
として, 今の場合で言えば

全射:値域が実数全体になる(yが全ての実数を取りうる)
単射:xとyが1対1に対応しており, 1つのyから元のxがただ１つ決まる
(y=x^2 などだと, 例えば y=1 に対し, x=±1となり, 単射でない.)
全単射:全射かつ単射

これを, グラフを見ながら考えると, 意味が理解しやすいでしょう.
ただし，あくまで状況をつかむためのもので，正式の解答は，（例えば単射でないとか）見当をつけて，それを式で示すようにして下さい．

＞f2(1)=1ですよね。 この場合は全射になるのですか？
グラフからもすぐに分かりますが，全射です．値域は－∞＜y＜∞で全ての実数をyは取ります．

回答No.2

hinebot

#1です。

>まず、a≠b ⇒ fi(a)≠fi(b)が言えれば、単射です。
これですが、
fi(a)-fi(b)=0 になる場合があるかどうかを調べればOKです。
f1とf5を例にやってみましょう。

a,b∈R,a≠b　として
f1(a)-f1(b) = (a+1)-(b+1) = a-b ≠ 0 よって、単射です。
f5(a)-f5(b) = a^2-b^2 =(a+b)(a-b) となり、a=-b ならば0になるので、
単射ではありません。
（a^2は　aの２乗のことです。通常、PCではこのように表記します。）

f2～f4も同様に考えてみましょう。

補足

f2(1)=1ですよね。
この場合は全射になるのですか？