ユークリッド平面と連続開写像
「fをユークリッド平面R2から実数直線R1への写像としてつぎのように定める。R2∋X=<x1,x2>に対して、f(x)＝x1
このとき、fはR2からR1への連続開写像であることを証明せよ。」
以下のような流れで証明できて合っていますでしょうか？
また、もっと違う方法、簡単な方法はありますでしょうか？
宜しくお願いします。
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X(x1,x2)とY(y1,y2)の距離d(ユークリッド空間R2の距離)は
d(X,Y)=√{(x1-y1)^2+(x2-y2)^2}
f(X)とf(Y)の距離d(ユークリッド空間R1の距離)は
d(f(X),f(Y))=√(x1-y1)^2
そうだとすると
√(x1-y1)^2 <= √{(x1-y1)^2+(x2-y2)^2}
だから
∀ε>0,∃δ>0, d(X,Y) < δ=ε ⇒ d(f(X),f(Y)) <= d(X,Y) < ε
fは連続である。
fによってR2の開集合はR1の開集合に写像されることは、連続性と同じ理由で明らか。
∵Xの任意のε(X)近傍はf(X)のε(X)近傍の上に写像されるから、R2の開集合はR1の開集合に写像されることを意味していて、fは開写像である。
∴fはR2からR1への連続開写像である。
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