数列の和の内積

質問

列ベクトルxは以下であるとします。

<x,x>=1 （xとxの内積は１）

x=Σ(i=1→n)(βiΦi)

ここでβ1,β2,β3,...,βnは実数の組、Φiは列ベクトルで正規直交基底に
なっています。

β1,β2,β3,...,βnが満たすべき必要十分条件を求めよという問題なんですが。。。

一番自分の中で問題になっているのは、
<Σ(i=1→n)(βiΦi),Σ(i=1→n)(βiΦi)>=Σ(i=1→n)<βiΦi,βiΦi>
という等式が成り立つかどうかということです。

参考書には上の式のように書いてあったのですが、自分で
証明してみようと計算してみても、どうしてもならない気がします。

数列の和の内積の考え方、どなたか教えていただけないでしょうか？？

回答No.5

Tacosan · ベストアンサー

そこで詰まるのはちょっと想像できませんでした. というか, 「3つのベクトル a, b, c に対し <a, b+c> = <a, b> + <a, c>」は理解できていると思っていたので....
で j を使った理由ですが, i のままだと式がわけわからなくなるからです.
Σ(i = 1→n) Σ(i = 1→n) βi βi <Φi, Φi>
って, どう計算していいかよくわからないですよね. なので, 先に
<Σ(i=1→n)(βiΦi), Σ(i=1→n)(βiΦi)> を
<Σ(i=1→n)(βiΦi), Σ(j=1→n)(βjΦj)> と書き換えてから展開しています.

お礼

本当だ・・・

そういえば、そんな内積の基本性質、分配法則というのが
ありましたね。。。
それを適用すれば、とても理解できます。

これは言い訳になってしまうんですが、どうも数列の和というものに
僕は抵抗があるみたいです。
もしかしたら、内積の基本性質である分配法則、なんども目にしていたのに、知っている
ことは知っていたのに、気付かなかったのは、数列の和に抵抗が
あったからかもしれません。
もちろん、内積の基本性質である分配法則がしっかり頭にはいって
いなかったのも原因ですが。。。

僕は、高校時代、工業高校に通っており、数Aが授業でなかったため、
独学で数列に関しては勉強したんです。
大学に入ってどうしても出てくるものでしたから。

数列の問題をこなした量が、やはり圧倒的に少ないんだと思います。

すみません、長々と。

jを使った理由も、おかげさまでしっかり分かりました。
本当にお世話になりました。
ありがとうございましたm(_ _)m
本当に助かりました。
だいぶ、線形代数に関しても分かってきた気がします。
さらに勉強をこなして、理解していきたいです。

回答No.4

Tacosan

う～ん, それがわかってなぜこの問題が解けないんだ....
もういいか, 答え書いちゃえ.
x=Σ(i=1→n)(βiΦi)
だから
1 = <x, x> = <Σ(i=1→n)(βiΦi), Σ(i=1→n)(βiΦi)>
= Σ(i = 1→n) Σ(j = 1→n) βi βj <Φi, Φj>
= Σ(i = 1→n) βi^2.
2→3行目のところで正規直交基底であることを使っています. i = j なら <Φi, Φj> = 1, そうでない (i ≠ j) なら <Φi, Φj> = 0 なので, 2行目の和で生き残る (0 でない) のは i = j のときだけ. そしてそのとき βi = βj かつ <Φi, Φj> = 1 です.
n = 2 に対して成分で計算してますけど, ここもやっぱり「直交基底」という条件を使えていません. その例では左右の差が 2β1β2 (Φ11Φ12 + Φ21Φ22) になっていますが, Φ1 と Φ2 が直交するという条件から Φ11Φ12 + Φ21Φ22 = 0 です.

補足

そういうことだったんですか！！？
Σ(i = 1→n) Σ(j = 1→n) βi βj <Φi, Φj>= Σ(i = 1→n) βi^2.
ここはわかっていたんですよ、正規直交基底という条件を
使うのを・・・

参考書を参考にしたんですが、
<Σ(i=1→n)(βiΦi), Σ(i=1→n)(βiΦi)>= Σ(i = 1→n) Σ(j = 1→n) βi βj <Φi, Φj>

ここが分からずに困っていました。
すみません、色々と説明不足で。

自分で成分に分解したものの、その成分に「直交基底」という条件が
使えていなかった・・・

まだ直交基底というものについて、自分があまり理解できていない
証拠です。

すみません、お手数かけました。

ありがとうございました。

最後に、もう１つ質問いいですか？
式でjが出てきていますが、これ、iのままじゃダメなんですか？
jがでてくる意味があまりよく分からないのですが・・・

回答No.3

Tacosan

あれ?
「Φ1, ..., Φn が正規直交基底をなす」って, どういう意味かわかりますか?

補足

<Φi,Φj>がi=jのときは１で、i≠jのときは0ということですよね？

回答No.2

Tacosan

正規直交基底って条件を使ってあげてください. まあ, 今の問題に関していえば「正規」はいらないけど.

補足

すみません、その、正規直交基底という条件、
どこで使えばいいんでしょうか？？

回答No.1

pocopeco

nではなく、例えばn=3として、計算してみた結果はどうなりますか？

私は、そうなると思うのですが、
計算過程と、ならない気がするというのを見せてくれたら、
何が間違ってるのかアドバイスしやすいです。

補足

n=2のときで計算してみた結果です。

<Σ(i=1→2)(βiΦi),Σ(i=1→2)(βiΦi)>=<β1Φ1＋β2Φ2,β1Φ1＋β2Φ2>

ベクトルΦ1の成分をΦ11とΦ21と仮定しました。

Φ1=(Φ11、Φ21）←これは列ベクトルなので、上がΦ11、下がΦ21としています。

<β1Φ1＋β2Φ2,β1Φ1＋β2Φ2>=<(β1Φ11＋β2Φ12、β1Φ21＋β2Φ22）,(β1Φ11＋β2Φ12、β1Φ21＋β2Φ22）>=(β1Φ11＋β2Φ12）^2＋(β1Φ21＋β2Φ22）^2=β1^2Φ11^2＋β2^2Φ12^2＋2β1β2Φ11Φ12＋β1^2Φ21^2＋β2^2Φ22^2＋2β1β2Φ21Φ22

一方、
Σ(i=1→2)<βiΦi,βiΦi>＝<β1Φ1,β1Φ1>+<β2Φ2,β2Φ2>＝β1^2Φ11^2＋β2^2Φ12^2＋β1^2Φ21^2＋β2^2Φ22^2

よって、左右の式で、2β1β2Φ11Φ12＋2β1β2Φ21Φ22だけ差が生じてしまう
と考えたのですが・・・

とても見にくい式になってしまって、申し訳ないのですが、
2β1β2Φ11Φ12＋2β1β2Φ21Φ22だけ差が生じてしまった原因、
どこで計算ミス、考え方の間違いを起こしてしまったか自分では分からない
です・・・