線形代数の“行列式”についての質問です。

質問

行列式についての質問です。

ｎ次正方行列Aに対して、|A|=|-A|が成り立つのはAがどのような行列のときなのでしょうか。
教えていただきたいですｍ（＿＿）ｍ

回答No.1

tinantum

行列式の定義はご存知だと思いますが，
|A| = Σ sgn(σ)A_{1σ1}A_{2σ2}…A_{3σn}
ですね．(和はn 次の置換全体でとって，sgn は置換の符号)
よって，
|-A|
= Σ sgn(σ)(-A_{1σ1})(-A_{2σ2})…(-A_{3σn})
= (-1)^n Σ sgn(σ)A_{1σ1}A_{2σ2}…A_{3σn}　　
= (-1)^n |A|
よって，
nが偶数の場合は任意の行列Ａに対して |A| = |-A|で，
奇数の場合は０の行列式を持つ行列のみが|A|=|-A|=0です．