線型代数の証明問題

質問

A、Bは複素n次正方行列とします。

|trAB|^2≦tr|AA*|tr|BB*|

の証明を教えてください。
A*はAの随伴行列です。

回答No.7

reiman

いままでtr(BB^*)の式変形で添字の書換をしないミスをしていたので
訂正を兼ねて拡張もしてみた。

Aの行ベクトルの転置を順にa[1],…,a[n]とする。
このとき
A=
[a[1]^T]
[・・・]
[a[n]^T]
Bの列ベクトルの複素共役を順にb[1],…,b[n]とする。
このとき
B=[(b[1]^*)^T … (b[n]^*)^T]
すると
trAB=a[1]^T(b[1]^*)^T+…+a[n]^T(b[n]^*)^T
trAB=(b[1]^*a[1]+…+b[n]^*a[n])^T
trAB=b[1]^*a[1]+…+b[n]^*a[n]
trAB=(a[1],b[1])+…+(a[n],b[n])
tr(AA^*)=a[1]^T(a[1]^T)^*+…+a[n]^T(a[n]^T)^*
tr(AA^*)=a[1]^T(a[1]^*)^T+…+a[n]^T(a[n]^*)^T
tr(AA^*)=(a[1]^*a[1]+…+a[n]^*a[n])^T
tr(AA^*)=a[1]^*a[1]+…+a[n]^*a[n]
tr(AA^*)=(a[1],a[1])+…+(a[n],a[n])
tr(AA^*)=∥a[1]∥^2+…+∥a[n]∥^2
tr(BB^*)=tr(B^*B)
tr(BB^*)=b[1]^T(b[1]^*)^T+…+b[n]^T(b[n]^*)^T
tr(BB^*)=(b[1]^*b[1]+…+b[n]^*b[n])^T
tr(BB^*)=b[1]^*b[1]+…+b[n]^*b[n]
tr(BB^*)=(b[1],b[1])+…+(b[n],b[n])
tr(BB^*)=∥b[1]∥^2+…+∥b[n]∥^2
よって
|trAB|^2=
|(a[1],b[1])+…+(a[n],b[n])|^2
≦(|(a[1],b[1])|+…+|(a[n],b[n])|)^2
≦(∥a[1]∥∥b[1]∥+…+∥a[n]∥∥b[n]∥)^2
≦(∥a[1]∥^2+…+∥a[n]∥^2)(∥b[1]∥^2+…+∥b[n]∥^2)
=tr(AA^*)tr(BB^*)

回答No.6

reiman

もっと簡単に

3次でやってもすぐに拡張できるのでそれでする。
Aの行ベクトルの転置を順にa[1],a[2],a[3]とする。
このとき
A=
[a[1]^T]
[a[2]^T]
[a[3]^T]
Bの列ベクトルの複素共役を順にb[1],b[2],b[3]とする。
このとき
B=[(b[1]^*)^T (b[2]^*)^T (b[3]^*)^T]
すると
trAB=a[1]^T(b[1]^*)^T+a[2]^T(b[2]^*)^T+a[3]^T(b[3]^*)^T
trAB=(b[1]^*a[1]+b[2]^*a[2]+b[3]^*a[3])^T
trAB=b[1]^*a[1]+b[2]^*a[2]+b[3]^*a[3]
trAB=(a[1],b[1])+(a[2],b[2])+(a[3],b[3])
tr(AA^*)=a[1]^T(a[1]^T)^*+a[2]^T(a[2]^T)^*+a[3]^T(a[3]^T)^*
tr(AA^*)=a[1]^T(a[1]^*)^T+a[2]^T(a[2]^*)^T+a[3]^T(a[3]^*)^T
tr(AA^*)=(a[1]^*a[1]+a[2]^*a[2]+a[3]^*a[3])^T
tr(AA^*)=a[1]^*a[1]+a[2]^*a[2]+a[3]^*a[3]
tr(AA^*)=(a[1],a[1])+(a[2],a[2])+(a[3],a[3])
tr(AA^*)=∥a[1]∥^2+∥a[2]∥^2+∥a[3]∥^2
tr(BB^*)=tr(B^*B)
tr(BB^*)=b[1]^T(b[1]^*)^T+b[1]^T(b[1]^*)^T+b[1]^T(b[1]^*)^T
tr(BB^*)=(b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1])^T
tr(BB^*)=b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1]
tr(BB^*)=(b[1],b[1])+(b[2],b[2])+(b[3],b[3])
tr(BB^*)=∥b[1]∥^2+∥b[2]∥^2+∥b[3]∥^2
よって
|trAB|^2=
|(a[1],b[1])+(a[2],b[2])+(a[3],b[3])|^2
≦(|(a[1],b[1])|+|(a[2],b[2])|+|(a[3],b[3])|)^2
≦(∥a[1]∥∥b[1]∥+∥a[2]∥∥b[2]∥+∥a[3]∥∥b[3]∥)^2
≦(∥a[1]∥^2+∥a[2]∥^2+∥a[3]∥^2)(∥b[1]∥^2+∥b[2]∥^2+∥b[3]∥^2)
=tr(AA^*)tr(BB^*)

回答No.5

reiman

一ヶ所=と書くべきを≦と書いていたので訂正

3次でやってもすぐに拡張できるのでそれでする。
Aの行ベクトルの転置を順にa[1],a[2],a[3]とする。
このとき
A=
[a[1]^T]
[a[2]^T]
[a[3]^T]
Bの列ベクトルの複素共役を順にb[1],b[2],b[3]とする。
このとき
B=[(b[1]^*)^T (b[2]^*)^T (b[3]^*)^T]
すると
trAB=a[1]^T(b[1]^*)^T+a[2]^T(b[2]^*)^T+a[3]^T(b[3]^*)^T
trAB=(b[1]^*a[1]+b[2]^*a[2]+b[3]^*a[3])^T
trAB=b[1]^*a[1]+b[2]^*a[2]+b[3]^*a[3]
trAB=(a[1],b[1])+(a[2],b[2])+(a[3],b[3])
tr(AA^*)=a[1]^T(a[1]^T)^*+a[2]^T(a[2]^T)^*+a[3]^T(a[3]^T)^*
tr(AA^*)=a[1]^T(a[1]^*)^T+a[2]^T(a[2]^*)^T+a[3]^T(a[3]^*)^T
tr(AA^*)=(a[1]^*a[1]+a[2]^*a[2]+a[3]^*a[3])^T
tr(AA^*)=a[1]^*a[1]+a[2]^*a[2]+a[3]^*a[3]
tr(AA^*)=(a[1],a[1])+(a[2],a[2])+(a[3],a[3])
tr(AA^*)=∥a[1]∥^2+∥a[2]∥^2+∥a[3]∥^2
tr(BB^*)=tr(B^*B)
tr(BB^*)=b[1]^T(b[1]^*)^T+b[1]^T(b[1]^*)^T+b[1]^T(b[1]^*)^T
tr(BB^*)=(b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1])^T
tr(BB^*)=b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1]
tr(BB^*)=(b[1],b[1])+(b[2],b[2])+(b[3],b[3])
tr(BB^*)=∥b[1]∥^2+∥b[2]∥^2+∥b[3]∥^2
よって
|trAB|^2=
|(a[1],b[1])+(a[2],b[2])+(a[3],b[3])|^2
≦(|(a[1],b[1])|+|(a[2],b[2])|+|(a[3],b[3])|)^2
=|(a[1],b[1])|^2+|(a[2],b[2])|^2+|(a[3],b[3])|^2
+2|(a[1],b[1])||(a[2],b[2])|
+2|(a[2],b[2])||(a[3],b[3])|
+2|(a[3],b[3])||(a[1],b[1])|
≦(∥a[1]∥∥b[1]∥)^2+(∥a[2]∥∥b[2]∥)^2+(∥a[3]∥∥b[3]∥)^2
+2∥a[1]∥∥b[1]∥∥a[2]∥∥b[2]∥
+2∥a[2]∥∥b[2]∥∥a[3]∥∥b[3]∥
+2∥a[3]∥∥b[3]∥∥a[1]∥∥b[1]∥
≦∥a[1]∥^2∥b[1]∥^2+∥a[2]∥^2∥b[2]∥^2+∥a[3]∥^2∥b[3]∥^2
+(∥a[1]∥^2∥b[2]∥^2+∥a[2]∥^2∥b[1]∥^2)
+(∥a[2]∥^2∥b[3]∥^2+∥a[3]∥^2∥b[2]∥^2)
+(∥a[3]∥^2∥b[1]∥^2+∥a[1]∥^2∥b[3]∥^2)
=(∥a[1]∥^2+∥a[2]∥^2+∥a[3]∥^2)(∥b[1]∥^2+∥b[2]∥^2+∥b[3]∥^2)
=tr(AA^*)tr(BB^*)

回答No.4

reiman

より丁寧に

3次でやってもすぐに拡張できるのでそれでする。
Aの行ベクトルの転置を順にa[1],a[2],a[3]とする。
このとき
A=
[a[1]^T]
[a[2]^T]
[a[3]^T]
Bの列ベクトルの複素共役を順にb[1],b[2],b[3]とする。
このとき
B=[(b[1]^*)^T (b[2]^*)^T (b[3]^*)^T]
すると
trAB=a[1]^T(b[1]^*)^T+a[2]^T(b[2]^*)^T+a[3]^T(b[3]^*)^T
trAB=(b[1]^*a[1]+b[2]^*a[2]+b[3]^*a[3])^T
trAB=b[1]^*a[1]+b[2]^*a[2]+b[3]^*a[3]
trAB=(a[1],b[1])+(a[2],b[2])+(a[3],b[3])
tr(AA^*)=a[1]^T(a[1]^T)^*+a[2]^T(a[2]^T)^*+a[3]^T(a[3]^T)^*
tr(AA^*)=a[1]^T(a[1]^*)^T+a[2]^T(a[2]^*)^T+a[3]^T(a[3]^*)^T
tr(AA^*)=(a[1]^*a[1]+a[2]^*a[2]+a[3]^*a[3])^T
tr(AA^*)=a[1]^*a[1]+a[2]^*a[2]+a[3]^*a[3]
tr(AA^*)=(a[1],a[1])+(a[2],a[2])+(a[3],a[3])
tr(AA^*)=∥a[1]∥^2+∥a[2]∥^2+∥a[3]∥^2
tr(BB^*)=tr(B^*B)
tr(BB^*)=b[1]^T(b[1]^*)^T+b[1]^T(b[1]^*)^T+b[1]^T(b[1]^*)^T
tr(BB^*)=(b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1])^T
tr(BB^*)=b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1]
tr(BB^*)=(b[1],b[1])+(b[2],b[2])+(b[3],b[3])
tr(BB^*)=∥b[1]∥^2+∥b[2]∥^2+∥b[3]∥^2
よって
|trAB|^2=
|(a[1],b[1])+(a[2],b[2])+(a[3],b[3])|^2
≦(|(a[1],b[1])|+|(a[2],b[2])|+|(a[3],b[3])|)^2
≦|(a[1],b[1])|^2+|(a[2],b[2])|^2+|(a[3],b[3])|^2
+2|(a[1],b[1])||(a[2],b[2])|
+2|(a[2],b[2])||(a[3],b[3])|
+2|(a[3],b[3])||(a[1],b[1])|
≦∥a[1]∥^2∥b[1]∥^2+∥a[2]∥^2∥b[2]∥^2+∥a[3]∥^2∥b[3]∥^2
+2∥a[1]∥∥b[1]∥∥a[2]∥∥b[2]∥
+2∥a[2]∥∥b[2]∥∥a[3]∥∥b[3]∥
+2∥a[3]∥∥b[3]∥∥a[1]∥∥b[1]∥
≦∥a[1]∥^2∥b[1]∥^2+∥a[2]∥^2∥b[2]∥^2+∥a[3]∥^2∥b[3]∥^2
+(∥a[1]∥^2∥b[2]∥^2+∥a[2]∥^2∥b[1]∥^2)
+(∥a[2]∥^2∥b[3]∥^2+∥a[3]∥^2∥b[2]∥^2)
+(∥a[3]∥^2∥b[1]∥^2+∥a[1]∥^2∥b[3]∥^2)
=(∥a[1]∥^2+∥a[2]∥^2+∥a[3]∥^2)(∥b[1]∥^2+∥b[2]∥^2+∥b[3]∥^2)
=tr(AA^*)tr(BB^*)

回答No.3

reiman

寝ぼけていたので間違いがあり以下のように修正

3次でやってもすぐに拡張できるのでそれでする。
Aの行ベクトルの転置を順にa[1],a[2],a[3]とする。
このとき
A=
[a[1]^T]
[a[2]^T]
[a[3]^T]
Bの列ベクトルの複素共役を順にb[1],b[2],b[3]とする。
このとき
B=[(b[1]^*)^T (b[2]^*)^T (b[3]^*)^T]
すると
trAB=a[1]^T(b[1]^*)^T+a[2]^T(b[2]^*)^T+a[3]^T(b[3]^*)^T
trAB=(b[1]^*a[1]+b[2]^*a[2]+b[3]^*a[3])^T
trAB=b[1]^*a[1]+b[2]^*a[2]+b[3]^*a[3]
trAB=(a[1],b[1])+(a[2],b[2])+(a[3],b[3])
tr(AA^*)=a[1]^T(a[1]^T)^*+a[2]^T(a[2]^T)^*+a[3]^T(a[3]^T)^*
tr(AA^*)=a[1]^T(a[1]^*)^T+a[2]^T(a[2]^*)^T+a[3]^T(a[3]^*)^T
tr(AA^*)=(a[1]^*a[1]+a[2]^*a[2]+a[3]^*a[3])^T
tr(AA^*)=a[1]^*a[1]+a[2]^*a[2]+a[3]^*a[3]
tr(AA^*)=(a[1],a[1])+(a[2],a[2])+(a[3],a[3])
tr(AA^*)=∥a[1]∥^2+∥a[2]∥^2+∥a[3]∥^2
tr(BB^*)=tr(B^*B)
tr(BB^*)=b[1]^T(b[1]^*)^T+b[1]^T(b[1]^*)^T+b[1]^T(b[1]^*)^T
tr(BB^*)=(b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1])^T
tr(BB^*)=b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1]
tr(BB^*)=(b[1],b[1])+(b[2],b[2])+(b[3],b[3])
tr(BB^*)=∥b[1]∥^2+∥b[2]∥^2+∥b[3]∥^2
よって
|trAB|^2=
|(a[1],b[1])+(a[2],b[2])+(a[3],b[3])|^2
≦(|(a[1],b[1])|+|(a[2],b[2])|+|(a[3],b[3])|)^2
≦|(a[1],b[1])|^2+|(a[2],b[2])|^2+|(a[3],b[3])|^2
+2|(a[1],b[1])||(a[2],b[2])|
+2|(a[2],b[2])||(a[3],b[3])|
+2|(a[3],b[3])||(a[1],b[1])|
≦∥a[1]∥^2∥b[1]∥^2+∥a[2]∥^2∥b[2]∥^2+∥a[3]∥^2∥b[3]∥^2
+(∥a[1]∥^2∥b[2]∥^2+∥a[2]∥^2∥b[1]∥^2)
+(∥a[2]∥^2∥b[3]∥^2+∥a[3]∥^2∥b[2]∥^2)
+(∥a[3]∥^2∥b[1]∥^2+∥a[1]∥^2∥b[3]∥^2)
=(∥a[1]∥^2+∥a[2]∥^2+∥a[3]∥^2)(∥b[1]∥^2+∥b[2]∥^2+∥b[3]∥^2)
=tr(AA^*)tr(BB^*)

回答No.2

reiman

3次でやってもすぐに拡張できるのでそれでする。
Aの行ベクトルの転置を順にa[1],a[2],a[3]とする。
このとき
A=
[a[1]^T]
[a[2]^T]
[a[3]^T]
Bの列ベクトルの複素共役を順にb[1],b[2],b[3]とする。
このとき
B=[(b[1]^*)^T (b[2]^*)^T (b[3]^*)^T]
すると
trAB=a[1]^T(b[1]^*)^T+a[2]^T(b[2]^*)^T+a[3]^T(b[3]^*)^T
trAB=(b[1]^*a[1]+b[2]^*a[2]+b[3]^*a[3])^T
trAB=b[1]^*a[1]+b[2]^*a[2]+b[3]^*a[3]
trAB=(a[1],b[1])+(a[2],b[2])+(a[3],b[3])
tr(AA^*)=a[1]^T(a[1]^T)^*+a[2]^T(a[2]^T)^*+a[3]^T(a[3]^T)^*
tr(AA^*)=a[1]^T(a[1]^*)^T+a[2]^T(a[2]^*)^T+a[3]^T(a[3]^*)^T
tr(AA^*)=(a[1]^*a[1]+a[2]^*a[2]+a[3]^*a[3])^T
tr(AA^*)=a[1]^*a[1]+a[2]^*a[2]+a[3]^*a[3]
tr(AA^*)=(a[1],a[1])+(a[2],a[2])+(a[3],a[3])
tr(AA^*)=∥a[1]∥^2+∥a[2]∥^2+∥a[3]∥^2
tr(BB^*)=tr(B^*B)
tr(BB^*)=b[1]^T(b[1]^*)^T+b[1]^T(b[1]^*)^T+b[1]^T(b[1]^*)^T
tr(BB^*)=(b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1])^T
tr(BB^*)=b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1]+b[1]^*b[1]
tr(BB^*)=(b[1],b[1])+(b[2],b[2])+(b[3],b[3])
tr(BB^*)=∥b[1]∥^2+∥b[2]∥^2+∥b[3]∥^2
よって
|trAB|^2=
|(a[1],b[1])+(a[2],b[2])+(a[3],b[3])|^2
≦|(a[1],b[1])|^2+|(a[2],b[2])|^2+|(a[3],b[3])|^2
≦∥a[1]∥^2∥b[1]∥^2+∥a[2]∥^2∥b[2]∥^2+∥a[3]∥^2∥b[3]∥^2
≦(∥a[1]∥^2+∥a[2]∥^2+∥a[3]∥^2)(∥b[1]∥^2+∥b[2]∥^2+∥b[3]∥^2)
=tr(AA^*)tr(BB^*)

回答No.1

rabbit_cat

コーシー・シュワルツそのもの
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%EF%BC%9D%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%AF%E3%83%AB%E3%83%84%E3%81%AE%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F