線型代数についての質問です

質問

行列Aを２次の正方行列とするとき

１、A^2＝Aを満たす行列Aはなにか

２、A^2＝０を満たす行列Aはなにか

３、A＾２＝I　を満たす行列Aはなにか
　　ここで　I　は単位行列とする

回答のほうよろしくお願いしますm(_ _)m

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

１.
A^2=A
A^-1(Aの逆行列を両辺に左から掛けると
I A=I
∴A=I
つまり、Aは２次の単位行列

２.
行列要素の関係で表せば

A=
[a,b]
[c,d]
とすると
ad=bc,d=-a
という関係にある行列。

３.
A^2＝I
逆行列A^-1を両辺に左から掛けると
I A=A^-1
A=A^-1

これを行列要素の関係に直せば
A=
[a,b]
[c,d]
とすると
ad-bc=-1,d=-a
という関係にある行列。

お礼

簡潔な回答ありがとうございます。
大まかな流れはつかめたと思います
ご協力感謝します！！

回答No.2

stomachman

1番は、単位行列だけじゃないですね。回答No.1の書き方
A=

[a,b]

[c,d]

を使わせてもらうと、
(1) b=0かつc=0の場合には、
　　(a,b,c,d)=(1,0,0,1) か (0,0,0,0) か (1,0,0,0) か (0,0,0,1)
(2) b, cのどちらかが0でない場合には、
　　(a,b,c,d) = ((1/2)(1+√(1-4bc)), b, c, (1/2)(1-√(1-4bc)))
か、
　　(a,b,c,d) = ((1/2)(1-√(1-4bc)), b, c, (1/2)(1+√(1-4bc)))
です。
　特に
　　b=0かつc≠0の場合には、(a,b,c,d)=(1,0,c,0) か (0,0,c,1)
　　b≠0かつc=0の場合には、(a,b,c,d)=(1,b,0,0) か (0,b,0,1)
です。
　Aが単位行列(a,b,c,d)=(1,0,0,1)である場合以外は、Aには逆行列がありません。

お礼

回答ありがとうございます！！
おかげですごく助かりました。
具体的な計算例とても分かりやすかったです
また機会がありましたらよろしくお願いいたします。