テイラーの定理

質問

この前、大学でテイラーの定理を習いました。しかし、このテイラーの定理の重要さやテイラーの定理がわかれば何がわかるのか(便利になるか)があまりわかりません。
わかる方おられるでしょうか？

回答No.3

aquarius_hiro · ベストアンサー

こんにちは。

テイラー展開は極めて重要で、非常に多くの分野で使われます。

まず、複素数の関数は、実数関数のテイラー展開式を拡張して定義されます。

複素関数がないと、量子力学ができません。
量子力学の波動関数は複素関数なので。

ということで、テイラー展開がないと、量子力学も出来なくなります。

とりあえず、理工系の学生さんなら、オイラーの公式を習いますよね。

e^{iθ} = cosθ + i sinθ

です。これも複素数関数です。そもそも左辺の定義にテイラー展開を使いますが、証明も cosθ と sinθ のテイラー展開を使います。

これだけでも、非常に重要なことはわかると思いますが、他の重要例も沢山あります。

たとえば、電卓で sin x を計算するときにも、なかの cpu の回路は、sin x のテイラー展開式使って、これを計算しています。なぜなら加減乗除の回路は簡単に作れますが、cpu の中で図形を書いて、sinθを求めるわけにはいかないからです。

お礼

わかりやすい説明をありがとうございます。

回答No.2

kabaokaba

>この内容をやる理由はなんなのでしょうか？

一言でいえば「大事」だから．

例えば・・・
e^{1.5} を紙と鉛筆だけで計算できますか？
しかし，
e^x=1+x+x^2/2
なら，e^{1.5} = 1+1.5+(1.5)^2/2 です．
もちろんこれは「正確な値」ではありません．
しかし，どれくらいずれているかはある程度は計算可能です．
したがって，「必要な精度」にあわせて簡単に計算できます．

例えば・・・わけのわからない微分方程式を解きたい！という場合，
解があるかどうかも不明だが，なんとかしたいときは
とりあえず「解が存在する」と仮定して
しかもその解が「テイラー展開」可能だと仮定して
展開した形を微分方程式に代入して，展開の係数を求めます．
それで求まればOK．
だめだったら，「駄目さの度合い」に応じて
別の対策を講じたりします．

他にもいろいろありますが，とにかく
微分積分の基礎中の基礎の定理です．

お礼

説明ありがとうございます。理解することができました。

回答No.1

zk43

テイラーの定理により、関数を多項式で近似できるので、関数の大まか
な大きさや、ふるまいを知ることができます。
例えば、log(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-…など、左辺はxに具体的な値を
いれてその値を知ることは難しいですが、右辺は四則演算と累乗なので
直接計算でき、ある項まで計算すれば、log(1+x)の大体の値を知ること
ができます。
また、e^x=1+x+x^2/2+…より、x>0のとき、e^x>1+xなどの評価式を得る
ことができ、このような評価式は、いろんな場面で利用されます。
たとえば、極限値を求める場合など。

補足

ありがとうございます。私は、理工系の学部なのですが、この内容をやる理由はなんなのでしょうか？