テイラーの定理

質問

x^100を(x－1)＾3で割った余りをx=1におけるテイラーの定理を用いて求めよ。
どなたかよろしくお願いします。

回答No.1

noname#154783 · ベストアンサー

f(x) = x^100を，x=1においてテイラー展開すると，
f(x) = ∑[n=0,100] f^(n) (1)/n! (x - 1)^n.

# f(x)は100次式なので，101回微分すると0になってしまう．
# したがって，0でない項が現れるのは高々n = 100まで．

このうち，n ≧ 3の和は(x - 1)^3で割り切れてしまうので，
f(x)を(x - 1)^3で割った余りをQ(x)とすると，

Q(x)
= ∑[n=0,2] f^(n) (1)/n! (x - 1)^n.

f(x) = x^100, f(1) = 1,
f'(x) = 100x^99, f'(1) = 100,
f"(x) = 9900x^98, f"(1) = 9900.

∴Q(x)
= 1 + 100(x - 1) + 9900/2! (x - 1)^2
= 1 + 100(x - 1) + 4950(x - 1)^2.

お礼

丁寧な回答ありがとうございました。