数列の極限

質問

F(1)＝2
F(n+1)＝[1＋{F(n)}^2]/n^2

のとき、F(n)をn→∞とした場合の極限を求めたいのですが、
どのように考えれば良いでしょうか？

はさみうちを作ろうと考えましたが、わかりませんでした。
式変形のほかに、考え方も書いていただけるとありがたいです。

回答No.4

aquarius_hiro

> ANo.1さんのご回答で正しいと思いますが、

「ANo.2さんのご回答」の間違いでした。

ANo.1さんの予想も合ってましたね。

回答No.3

aquarius_hiro

こんにちは。

ANo.1さんのご回答で正しいと思いますが、

もし極限値が存在するとしてよければ簡単にわかりますよ。

lim_{n→∞}F(n) = c とすると、

F(n+1)＝[1＋{F(n)}^2]/n^2

の両辺の極限をとると、

c = lim_{n→∞}[1＋{F(n)}^2]/n^2
　= lim_{n→∞}[1+c^2]/n^2 = 0

故に、lim_{n→∞}F(n) = 0 がわかります。

ただし、F(1) の値によっては、発散することもありそうですね。

回答No.2

tinantum

lim_{n→∞} F(n) = 0　
です

[証明]
F(n)≧0は初項と漸化式から明らかに成立します．
ちなみに，F(2)=(1+2^2)/1^2=5, F(3) = (1+5^2)/2^2 = 13/2ですが，
次に，任意のn≧3に対し
F(n)≦13/2 であることが数学的帰納法により証明できます．
実際，
(i) k=3ではF(3)=13/2より成立，(∵ F(2)=(1+2^2)/1^2=5)
(ii)k=n(≧3)で成立と仮定すると，
(iii)k=n+1では，
F(n+1)=[1＋{F(n)}^2]/n^2≦[1＋(13/2)^2]/n^2
ですが，n≧3だとこの不等式は成立します．
よって，任意のn≧3においてF(n)≦13/2が示されたので，任意のn≧3にて
F(n+1)＝[1＋{F(n)}^2]/n^2 ≦ [1＋{13/2}^2]/n^2
も成立します．この右辺はｎ無限大の極限で０に収束しますので，はさみうちの原理からF(n)も０に収束します．

回答No.1

kumoringo

0に収束しそうですね。

nが6の時からF(n)<1となり、
F(n)<1ならば、
F(n+1) < [{F(n)}^2＋{F(n)}^2]/n^2 = {2F(n)/n^2} * F(n)
が成り立つことを利用すれば解けそうです。