微分方程式の途中計算

質問

ｙ’＝　-ｙ/ｘ（-は分数全体についています）　の一般解を求めよ。
途中計算を教えてください。
最初に両辺をｙで割って、両辺を積分すると、logｙ＝-logｘ＋Ｃになりますか？　答えはｙ＝Ｃ/ｘ　です。　Ｃは任意定数

回答No.2

celery

おはようござます。
はじめのご回答者とは別の解法を補足します。
　　　logｙ＝-logｘ＋Ｃ
　　exp(logｙ)＝exp(-logｘ＋Ｃ)
exp(logｙ)＝exp(logx^-1+Ｃ)
exp(logｙ)＝exp(log(1/x)+Ｃ)=exp(log(1/x))×exp(Ｃ)
ところで　exp(log a)=a なので(この事は両辺のlogをとると簡単にわかります)　上の式は
ｙ＝1/x×exp(Ｃ)
となります。exp(Ｃ)をあらたにＣと書き換えると
　　y=1/x×Ｃ 従って　y=Ｃ/x　となります。

回答No.1

aquarius_hiro

こんにちは。

> 最初に両辺をｙで割って、両辺を積分すると、logｙ＝-logｘ＋Ｃになりますか？　

大体合ってますが、正確には、log|y| = - log|x| + C ですね。

質問にあるように、最初に両辺を y で割って積分すると、

∫dy/dx・1/y・dx = ∫(-1/x) dx

になるわけですが、左辺は dx が打ち消しあうようにしてよいので、

∫dy/y = log|y| + C

になります。

右辺も同様に、-∫dx/x = log|x| + C' になります。

これらが等しいので、log|y| = -log|x| + (C' - C)

ですが、C, C' は任意定数なので、C'-C を改めてCとおきます。

log|y| = - log|x| + C = log(e^C/|x|)

の指数をとると、|y| = e^C/|x| より、y = ±e^C/x になりますが、ここで、±e^C を改めて C とおくと、

y = C/x が得られます。

お礼

最後のところを　ｙ＝eの（-logx+Ｃ）乗にしてしまってはいけませんか？