微分方程式について

質問

微分方程式についての質問です。
(1) (y-√(x^2-y^2)dx-xdy=0
これを両辺x^2で割り、y=uxとおいて整理し解いた結果、私は
y=xsin (log|x|+C) (C:任意定数)
を導きました。しかし解答は、

y=xsin(※log|x|+C)(C:任意定数) (-はx>0、+はx<0のとき。y=±は特異解)
(※はマイナスプラス、±の上下逆だと思ってください。)

となっておりました。私はどうしても※の記号を付ける意味がわかりません。どなたかご教授の程、よろしくお願いします。

回答No.1

proto · ベストアンサー

＞これを両辺x^2で割り、y=uxとおいて整理し解いた結果
x^2で割るのではなくxで割るんですよね？
元の式、√(x^2-y^2)をxで割る部分でxの符号による場合分けが必要になります。

x>0のとき
　　x = √(x^2)
です。
x<0のとき
　　x = -√(x^2)
です。
具体的にx=2やx=-3で考えてみると分かりやすいと思います。

ですから、x>0のとき
　　(√(x^2-y^2))/x = (√(x^2-y^2))/(√(x^2)) = √(1-(y/x)^2)
であり、x<0のとき
　　(√(x^2-y^2))/x = (√(x^2-y^2))/(-√(x^2)) = -√(1-(y/x)^2)
となるのです。
xの符号によって違いが出ることがわかりますか？

お礼

早速のお返事ありがとうございました。どうもその点を見落としてしまってたみたいです。再度計算すると答えが導けました。