ヤコビアンの幾何学的意味について

質問

授業でヤコビアンの幾何学的意味について勉強したのですが、よくわからなくて困っています。どなたか助けてください。

回答No.4

ninigi

ヤコビアンは写像の各点での、変換前と変換後の体積比を表しています。

ヤコビアンの定義は、n次元空間からn次元空間への写像を微分して得られる(n,n)行列の行列式ですね。

まず、写像を微分して得られる(n,n)行列は、写像の各点での一次変換への近似を表しています。

また行列式は、体積が１のn次元立方体をその行列で移した時の体積を表しています。つまり一次変換で体積が何倍になるかを表しています。
また一次変換で図形が裏返る場合は体積はマイナスになります。

以上の事から、ヤコビアンとは「写像を各点で一次変換に近似した時の体積の倍率を表している」と考える事ができます。
従って積分などで変数変換したときに座標系による体積の違いを吸収するためにヤコビアンを掛けてやる必要があるのです。

お礼

とても参考になりました。回答ありがとうございました。

回答No.3

connykelly

次のサイトをご覧になられてはいかがでしょうか。

http://www12.plala.or.jp/ksp/index.html
↓
微分形式
↓
面積素と微分形式

参考URL：

http://www12.plala.or.jp/ksp/index.html

お礼

回答ありがとううございました。

回答No.2

ojisan7

幾何学的な意味については、多様体上の微分形式または、外積代数で考えたほうが理解しやすいのでなないでしょうか。たとえば、重積分∫fdxdyは、本来外積の積分∫fdx∧dyですよね。直感的にいえば、dx∧dyは、ベクトルdxとdyが張る平行四辺形の面積です。x、yをζ、ηに座標変換すれば、その面積は、Jdζ∧dηとなりますが、このときの係数Jがヤコビアンです。以上、直観的な説明をしましたが、詳しくは外積代数（微分形式）の教科書を読んでくださいね。

お礼

回答ありがとうございました。参考になりました。

回答No.1

maku_x

数学にはあまり詳しくないので、外していたらすみません。
Wikipedia に極座標系から直交座標系への座標変換の例がいくつか載っていましたが、そういうことではない？

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E8%A1%8C%E5%88%97