ヤコビアンとはなんですか？

質問

ヤコビアンとはなんですか？
数学が苦手でなかなか理解できないのでできるだけわかりやすく解説してください。
どうやって出しているのかもできたら教えてください。

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk） · ベストアンサー

例えば、dxdyというものをx、y→r、θのように変数変換したとき、後者は次元が一個落ちる。それを補う際の比率をヤコビアンが与えるという意味かな。

円筒座標ならr、球座標ならr^2sinθといったようになる。
一般の変数変換ときにも成り立つように、偏微分を使った行列式(ヤコビアン)を使ってあらわされるんだよ。

補足

後者は次元が一個落ちる。
というのがどういうことなのか理解できません。
もう少し詳しく教えてもらえますか？

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

多重積分で変数変換するときにかかってくる係数。
#他にも用途はあるけど
ー変数の場合はちょっと変換式を微分すれば求まるけど、
多変数で絡まっている時はヤコビアンで計算します。
多変数の微積分の教科書には必ず載っていますよ。

回答No.2

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

次元が落ちるとは、微分量を掛け合わせたdxdyのときは長さの2乗の次元。
変換後も同じようにしてdrdθにすると長さの次元になってしまうから、dxdy=drdθとはならない。だから、長さの次元を一つ付け足してスケールを補正する必要がある。それをヤコビアンを使って計算するとrになる。座標軸を回転させるだけの簡単な場合はそんなに大げさではないが、任意の座標系に変換する場合に重宝するものだという認識をすればいいと思う。

dx、dy、dr、dθが全て関係するので、ヤコビアンはこれらを全て含んだものになっている(組み合わせ)。3次元を扱う場合も同じで、ヤコビアンは変換前と変換後の変数の偏微分の組み合わせで表される。
(変換前が分子、変換後が分母)

例えば、xをrとθで表そうとした場合、dx=(dx/dr)dr+(dx/dθ)dθとなる。同じように、dy=(dy/dr)dr+(dy/dθ)dθ。
これを行列で表す。詳しくは→http://homepage1.nifty.com/kumabox/Jacobi_1.htm