ヤコビアンについて

質問

図のヤコビアンの説明はマセマの参考書に載っていたものですが、ヤコビアンの説明で図のⅱのような表現は妥当なものなのでしょうか？
　確かに直交座標と極座標の微小な積分要素の関係は形式的には
　　dxdy → rdrdθ
という変換になっていますし、実際に積分計算を実行するときはヤコビアン r のおかげで r とθが極座標の変数であることを忘れ、あたかもr軸とθ軸による '直交座標' にある領域を定義域とする z = f(r,θ) を積分しているような気分になってはきますが、だからといって「極座標系」における領域D'なるものを、あからさまにr-θの「直交座標」で表していいものかどうかしっくりきません。
　　x = x(r,θ) = rcosθ
　　y = y(r,θ) = rsinθ
という座標変換を考えるとき、確かにr もθも任意の実数をとるけれども、θは位相を表すことを前提にしており、 drdθでは面積にならないことがわかっているわけで、そんなことを考えると、図のⅱはこれでいいのかと思ってしまうのです。

回答No.1

ddtddtddt

あなたのような疑問を持つのは当然だと思います。じっさいdxdyとdrdθは、幾何学的に別物なわけで・・・(^^;)。

　で、別物なので、ざっくり言ってしまうと、dxdyとdrdθの比を表すのがヤコビアンという事になります。ヤコビアンを考慮すれば、形式的に図のⅱで考えても良いですよ・・・と。

　便利ですよねって話です。計算を便利にするのが目的だったから・・・(^^;)。

お礼

ありがとうございました。