ヤコビアンの定義について

質問

今解いている二重積分の問題があるのですが、積分領域が楕円の内部になっています。普通にxとyで積分領域を決めようとするとめちゃくちゃめんどくさくなります。そこでヤコビアンの定義を使ったら楽に解けるんではないかと思っているのですが、使えるんでしょうか？楕円のパラメータは
x＝acosθ
y＝bsinθ
で、aとbで違ってくるので使えないでしょうか？
教えてください！

回答No.3

rabbit_cat · ベストアンサー

楕円の場合は、単純に極座標にしないで、
x=a*r*cosθ
y=b*r*sinθ
と置くとよいと思います。rとθが変数です。
ヤコビアンは、
|J|=(∂x/∂r)(∂y/∂θ)-(∂x/∂θ)(∂y/∂r)
　=acosθ*brcosθ+arsinθ*bsinθ
　=abr
です。

補足

それでrの範囲を0≦r≦1にしてθを問題で与えられる領域にすればいいんですよね？

回答No.2

oyaoya65

#1です。
楕円の平面極座標での式を間違えましたので訂正します。
楕円の式の導出する仕方は
(x/a)^2+(y/b)^2=1
に
x=r cosθ,y=r sinθ
を代入して求めます。
楕円の平面極座標での式は次の式となりますね。

r^2{(cosθ/a)^2+(sinθ/b)^2}=1

お礼

ありがとうございました！よく分かりました！

回答No.1

oyaoya65

ヤコビアンを考えるときは楕円と関係なく、直交座標と平面極座標の関係ですから
x=r cosθ,y=r sinθの関係を使わないといけないですね。
このrは極座標のr座標の変数です。

|J|=(∂x/∂r)(∂y/∂θ)-(∂x/∂θ)(∂y/∂r)
=cosθ(rcosθ)-(-rsinθ)(sinθ)=r
dxdy=|J|drdθ=rdrdθ
ですね。

＞x＝acosθ
＞y＝bsinθ
これは楕円上の点(x,y)が満たす式ですね。
これをヤコビアンの計算に使ってはいけませんね。

つまり、平面極座標での楕円の式が
r^2=x^2+y^2
=a^2cos^2(θ)+b^2sin^2(θ)

つまり、楕円の平面極座標方程式が

r^2 = a^2cos^2(θ)+b^2sin^2(θ)

ということですね。