パスカルの三角形について

質問

二項定理を解くとき、パスカルの三角形って使いますよね？
　　　　　　　　１　１
　　　　　　　１　２　１
　　　　　　１　３　３　１
　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　・
パスカルの三角形で、１乗、３乗、７乗・・・（おそらく２^ｎ ー１乗）
のときはすべての係数が奇数になるそうです。
これを証明せよという問題がでたのですが、誰か教えてください。

回答No.2

tiezo-

（1）k=2^n　の時1偶偶偶偶偶1
（2）k=2^n-1の時 1奇奇奇奇1 となることを示せばよいと思います
厳密な証明ではありませんが
（1）まず、k=2^nの時、1<=i<=k-1に対して
　　i*kＣi＝k*(k-1)Ｃ(i-1)より
　　k=2^nより
　　kＣi＝(2^n/i)*(k-1)Ｃ(i-1)
　　よって、kＣiは、偶数となる
　　したがって、k=2^nの時、1偶偶偶偶偶1 となる
（2）一般に、mＣn＝m-1Ｃn-1＋m-1Ｃn成立するので
　　（1）より（2）k=2^n-1の時 1奇奇奇奇1　が成立する
パスカルの三角形を0と1を用いて書いていけば見通しが立つと思います

回答No.1

oshiete_goo

数年前に関連問題が東大で出ましたが，
2項係数の満たす関係式
nＣr=(n-1)Ｃr ＋(n-1)Ｃ(r-1)
（但しnＣrはr＜0またはr＞nの時は０と定義する）
を使って，偶数，奇数に注目すればできるのでは？