二項定理を利用する証明について

質問

h>0のとき、すべての自然数nに対して、不等式
(1+h)^n≧1+nh+n(n-1)h^2/2
が成り立つことを証明せよという問題です

二項定理を使うのはわかったのですがなぜ使うのかがわかりません
わかりやすい説明お願いしますm(_ _)m

回答No.6

FT56F001 · ベストアンサー

>右辺は二項定理の三項まで左辺は二項展開ゆえに証明終了と簡潔に終わるのはいいのですが
>なぜなのかがいまいちわからなくて
「なぜ二項定理を使うのか」ではなくて
「二項定理を使った証明が成り立っているのか分からない」という疑問でしょうか?

#1さんが書いているように，二項定理は
(1+h)^n=1+nh+n(n-1)h^2/2+n(n-1)(n-2)h^3/6+...+nh^(n-1)+h^n
の形です。
左辺(1+h)^nはh^nまで足した全部の和，
右辺1+nh+n(n-1)h^2/2は第3項までの和です。
第4項以降，nCk*h^k(k=4,5,6,・・・,n)の形ですが，h>0なら正の値です。
右辺に正のものを足すと左辺になるので，左辺の方が大きいと言えます。

なお，<ではなくて≦にしてあるのは，n=1,n=2の場合は=になってしまうからでしょう。

補足

正のものとは四項以降のことですよね？

回答No.5

Tacosan

「なぜ使うのか」といえば「その方が証明が簡単だから」くらいしかないだろう.

そもそも使わなくてもそんなに難しくないが.

補足

問題の解答に二項定理で書くように書いてあったので
右辺は二項定理の三項まで左辺は二項展開ゆえに証明終了と簡潔に終わるのはいいのですが
なぜなのかがいまいちわからなくて
理解力が乏しくすみません

回答No.4

okormazd

左辺の二項展開-右辺=二項展開の4項目以降>=0
でいいと思うが、
二項展開の4項目以降は、n=0か、h=0でないと0にはならない。4項目以降だからn=0 ではないし、自然数でもない。
また、h=0はh>0の条件にならない。
したがって、等号があるのはまずいと思うが、そんなことはないのでしょうか。
数学が専門でないので、よろしければどなたかコメントを。

回答No.3

noname#185374

二項定理ではなく，数学的帰納法を使う方法もありますが．

補足

すみません
今は二項定理で理解したいのですm(_ _)m

回答No.2

WiredLogic

この問題を解くために、だけを考えれば、
右辺が、いかにも、二項定理を使って、という形をしているからですが、

この問題の出どころを考えると、

hが1に比べて、小さい(0と1の間で)ときに、

hは無視できなくても、h^2が、無視できるくらい小さくなるようなら、(1+h)^n は 1+nh で近似できる
h^2は、まだ無視できなくても、h^3になれば無視できるようならば、質問の不等式の右辺で、近似できる、
h^3は、まだ無視できなくても、h^4なら無視できる場合には、二項定理の次の項まで、で近似できる。

というように、二項定理で、いくらでも必要な近似式をつくることができる、
その副産物が、この不等式、と言う感じで出てきた不等式だからです。

回答No.1

f272

二項定理というのは
(1+h)^n=1+nh+n(n-1)h^2/2+n(n-1)(n-2)h^3/6+...+nh^(n-1)+h^n
というものです。これを見れば証明しようとしている式と非常に似ているので，それを使おうとするのは当然だろう。

補足

展開式はわかるのですが右辺が最初の三項だからという理由で証明を終了しても良いのでしょうか？